Пусть дан треугольник АВС, у которого АВ=2см, ВС=4см, АС=3см. Проведем биссектрисы AF, BK, CE, которые пересекаются в точке О. По свойству биссетрисы треугольника : биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.
Рассмотрим биссетрису ВК, применяя описанное свойство, имеем:
АК:КС=АВ:ВС
АК:КС=2:4=1:2
Значит сторона АС состоит из 1+2=3 равных части. А так как АС=3 см, то одна часть составляет 1см, то АК=1 см, КС=2см.
Рассмотрим треугольник ВСК, в нем СО - биссетриса.Используя тоже свойство, получим:
ВО:КО=ВС:СК
ВО:КО=4:2=2:1
Значит точка О делит биссектрису, проведенную из точки В в отношении 2:1
Так как треугольники равносторонние, то ВС=АС=5 см. Так как АВ=КР, то треугольники АВС=КРН, поэтому АС=КН=5см
четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных угол равна 180
пусть углы 1и2 при большем основании, тогда 3и4 при меньшем. Угол 1+4=180
угол 2+4=180(т.к. в трапецие основания параллельны, и эти углы соответственный)
тогда получаетчя, что угол 1=2, что и надо было доказать
Воспользуемся формулой площади треугольника S=1/2*a*b*sin(C), где a,b - стороны треугольника, а sin(C) - синус угла между ними. Пусть a и b - боковые стороны равнобедренного треугольника, а C - угол при вершине, который нам известен. Мы знаем, что a=b, а sin(C)=sin(150)=1/2. Таким образом, S=1/2*a*a*1/2=1/4*a². Из условия известно, что S=1/4*a²=100 или a²=400. Значит, a=20, то есть, боковая сторона треугольника равна 20.
Один катет х см
другой катет х+4 см
По теореме Пифагора:
х²+(х+4)²=20²
х²+х²+8х+16=400
2х²+8х-384=0 (сокращаем на 2)
х²+4х-192=0
D=4²-4*(-192)=16+768=784
√D=28
х1= (-4-28):2= -16 (отрицательное число не подходит)
х2= (-4+28):2= 12 (см) - первый катет;
12+4=16 (см) - второй катет.
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см.