Question

Y=ln(x+4)^2+2x+7 найти точку максимума

Answer 1

$y'_x(x)=(ln^2(x+4)+2x+7)'_x=2*ln(x+4)*(ln(x+4))'_x+2=$
$=2*ln(x+4)* \frac{1}{x+4}*(x+4)'_x +2=2*ln(x+4)* \frac{1}{x+4}*1 +2=$
$= \frac{2ln(x+4)}{x+4} +2$

ищем экстримальные (подозрительные на экстремум) точки из уравнения: $\frac{2ln(x+4)}{x+4} +2=0$
$\frac{ln(x+4)}{x+4} + \frac{x+4}{x+4} =0$
$\frac{ln(x+4)+x+4}{x+4} =0$
это уравнение равносильно уравнению $ln(x+4)+x+4=0$
поскольку запрет $x \neq -4$ для него сохраняется.
$ln(x+4)=-(x+4)$
функция $ln(x+4)$ монотонно растет, функция же $-(x+4)$ монотонно убывает, что означает, что у уравнения существует лишь один корень.
откуда $x+4=exp(-W(1))$
$x=exp(-W(1))-4$
где W - функция Ламберта

Ладно отложим в сторону прямой поиск экстремумов, покажем, что при устремлении $x$ в бесконечность, действительные значения исследуемой функции также тогда устремятся в бесконечность:
$\lim_{x \to +\infty} (ln^2(x+4)+2x+7)=$
$=\lim_{x \to +\infty} ln^2(x+4)+ \lim_{x \to +\infty}( 2x+7)=+\infty+(+\infty)=+\infty$
Что означает, что у функции не существует максимального значения, начиная с некоторого значения $x$, она непрерывно растет.
Все было проще.

Если же спрашивался экстремум - то он тут один - и находится из уравнения $ln(x+4)=-(x+4)$