Question

Упростите:
$(A_k^5+A_k^4):A_k^3\\A_k^5=\frac{k!}{(k-5)!}=\frac{(k-5)!(k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k}{(k-5)!}=\\=(k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k;\\A_k^4=\frac{(k-4)!)(k-3)(k-2)(k-1)k}{(k-4)!}=)(k-3)(k-2)(k-1)k;\\A_k^3=\frac{(k-3)!(k-2)(k-1)k}{(k-3)!}=(k-2)(k-1)k;\\\\ \frac{((k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k+(k-3)(k-2)(k-1)k)}{(k-2)(k-1)k}$
Можно выносить за скобки общий множитель?
$\frac{((k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k+(k-3)(k-2)(k-1)k)}{(k-2)(k-1)k}\\ \frac{(k-3)(k-2)(k-1)k(k-4+1)}{(k-2)(k-1)k}=(k-3)(k-3)=(k-3)^2$

Так решается или есть варианты решения полегче? Запись такая длинная.
Модераторы, пожалуйста, не удаляйте, хотя бы на время, пока не получу ответа (если решение не верное) или подтверждения правильности в комментарии или в ЛС.

Answer 1

Есть формулы , по которым сразу можно найти $A_{n}^{k}$, не применяя факториал:

   $A_{n}^{k}=n\cdot (n-1)(n-2)\cdot ...\cdot (n-k+1)\; \; \; \; \Rightarrow \\\\A_{k}^5=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot ...\cdot (k-5+1)=\\\\=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot (k-3)\cdot (k-4)\\\\A_{k}^4=k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot (k-4+1)=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)(k-3)\\\\A_{k}^3=k\cdot ...\cdot (k-3+1)=k\cdot (k-1)(k-2)$

Можно заметить, что количество множителей в произведении будет равно числу, написанному вверху, над А. И поэтому, чтоб не высчитывать, на каком множителе остановиться, можно писать множители, начиная с числа, указанного внизу, уменьшая каждый множитель на 1, и считая их по количеству, указанному вверху.
Аналогично с сочетаниями:

$C_{n}^{k}= \frac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Например,  $C_7^3= \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3!} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3} =7\cdot 5=35$ .