Сколько существует натуральных nn, меньших 1037, что a^(2)+b^(2)=7^(n)?

Question

4 года назад

0

Сколько существует натуральных nn, меньших 1037, что a^(2)+b^(2)=7^(n)?

Сколько существует натуральных nn, меньших 1037, таких что уравнение a2+b2=7na2+b2=7n имеет решение в целых числах?Как такое решать ?

образование

математика

числа

2 ответа:

Rafail [131K]4 года назад

2 0

Вот решения, но как их найти я пока не знаю. Я просто вычислил их методом подбора (в Excel).

n a b

7 7 0

14 7 7

35 7 14

70 7 21

119 7 28

182 7 35

259 7 42

350 7 49

455 7 56

574 7 63

707 7 70

854 7 77

1015 7 84

28 14 0

35 14 7

56 14 14

91 14 21

140 14 28

203 14 35

280 14 42

371 14 49

476 14 56

595 14 63

728 14 70

875 14 77

1036 14 84

63 21 0

70 21 7

91 21 14

126 21 21

175 21 28

238 21 35

315 21 42

406 21 49

511 21 56

630 21 63

763 21 70

910 21 77

112 28 0

119 28 7

140 28 14

175 28 21

224 28 28

287 28 35

364 28 42

455 28 49

560 28 56

679 28 63

812 28 70

959 28 77

175 35 0

182 35 7

203 35 14

238 35 21

287 35 28

350 35 35

427 35 42

518 35 49

623 35 56

742 35 63

875 35 70

1022 35 77

252 42 0

259 42 7

280 42 14

315 42 21

364 42 28

427 42 35

504 42 42

595 42 49

700 42 56

819 42 63

952 42 70

343 49 0

350 49 7

371 49 14

406 49 21

455 49 28

518 49 35

595 49 42

686 49 49

791 49 56

910 49 63

448 56 0

455 56 7

476 56 14

511 56 21

560 56 28

623 56 35

700 56 42

791 56 49

896 56 56

1015 56 63

567 63 0

574 63 7

595 63 14

630 63 21

679 63 28

742 63 35

819 63 42

910 63 49

1015 63 56

700 70 0

707 70 7

728 70 14

763 70 21

812 70 28

875 70 35

952 70 42

847 77 0

854 77 7

875 77 14

910 77 21

959 77 28

1022 77 35

1008 84 0

1015 84 7

1036 84 14

Rafail [131K]

4 года назад

Я нашёл некий подход к решению задачи, несколько упрощающий перебор вариантов, но можно ли назвать это полноценным решением. Правда Василий Котеночкин меня несколько опередил, но, из-за ошибки, допущенной при редактировании вопроса он решал совсем другую задачу, а именно a^2+b^2=7^n, и показал, что она не имеет решения.

Rafail [131K]

4 года назад

А исходная задача a^2+b^2=7*n упрощается так:
1) при a и b, кратных 7 задача уравнение явно имеет решения. Проверим, есть ли решения при a и b, не кратных 7?. Число a можно представить в виде а=7*х+с, где х-целая часть дроби а/7, а с - дробная часть (остаток от деления а на 7). Аналогично, представляем b в виде b=7*y+d. Тогда условие можно переписать в виде (7*х+с)^2+(7*y+d)^2=7*n. Далее получаем 49*x^2+14*x*c+c^2+ 49*y^2+14*y*d+d^2=7*n, или 7*(7(x^2+y^2)+2*(x*c+y*d))+c^2+d^2=7*n.

Rafail [131K]

4 года назад

Левая часть условия кратна семи если сумма c^2+d^2 кратна 7. Поскольку c и d - натуральные числа, не превышающие 6, то простым перебором легко проверить, что таких пар c и d не существует. таким образом, числа a и b кратны 7. Тогда условие запишется в виде (7*х)^2+(7*y)^2=7*n, или 49*(x^2+y^2)=7*n. Тогда x^2+y^2=m, где m -целая часть дроби n/7, и она не превышает 1037/7=148. Таким образом условие сводится к такому x^2+y^2=m, где x, y и m натуральные числа, причем m<=148. Это уже легко решить простым перебором.
х=0, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;
х=1, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;
х=2, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;
х=3, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11;
х=4, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11;
х=5, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11;
х=6, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;
х=7, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
х=8, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
х=9, y=0,1,2,3,4,5,6,7,8;
х=10, y=0,1,2,3,4,5,6;
х=11, y=0,1,2,3,4,5;
х=12, y=0,1,2.
Итак, решениями являются пары чисел вида а=7*х и b=7*y.

Rafail [131K]

4 года назад

Но в задаче спрашивается сколько существует натуральных "n". После исключения одинаковых пар при замене a на b, а также исключения таких пар, что (a1)^2+(b1)^2=(a2)^2+(b2)^2, остаётся 62 значения n. Вот они:
0 7 14 28 35 56 63 70 91 112
119 126 140 175 182 203 224 238 252 259
280 287 315 343 350 364 371 406 427 448
455 476 504 511 518 560 567 574 595 623
630 679 686 700 707 728 742 763 791 812
819 847 854 875 896 910 952 959 1008 1015
1022 1036.

Василий Котеночкин [20.8K] · Answer 1 · 2020-04-07T03:02:45+03:00

Василий Котеночкин [20.8K]4 года назад

1 0

что-то у меня большие сомнения, хоть до 7^1037, хоть до ленивой восьмёрки

остатки от деления квадратов на 7 дают 0 (для кратных семи)

1 для кратных 7+-1

4 для кратных 7+-2

2 для кратных 7+-3

сформировать из двух остатков ещё одну семёрку можно только при условии, что и a, и b кратны семи. Но в этом случае

a=7c и b = 7d получаем

(7c)^2+(7d)^2 = 7^n или c^2 +d^2 = 7^(n-2), что не отличимо от исходного условия.

Разве что 1037 превращается в 1035

Можно так и далее 517 раз продолжать, но ответа все равно не светит, если в а и b фигурируют сомножители отличные от семёрки.

Так что остаётся случай

7^(2k) + 7^(2m) = 7^n

Но и он решения не имеет

Скорей всего, что даже отредактированный вопрос содержит не верное условие

Rafail [131K]

4 года назад

Жаль, что Вы не увидели вопрос раньше, до его редактирования. Обратите внимание, что в вопросе записано "... натуральных nn, меньших...", т.е. вместо "n" записано "nn". В первоначальной редакции вопроса было записано примерно так: "Сколько существует натуральных nn, меньших 1037, что a2+b2=7na2+b2=7n? Почему-то при записи данных задачи было записано два раза подряд, т.е. вместо "n" записано "nn", а вместо "a2+b2=7n" было записано "a2+b2=7na2+b2=7n". Ну, то что a2 и b2 означало соответственно a^2 и b^2 догадаться нетрудно (а может быть было записано и a^2+b^2=7*n, не помню), и после редактирования условие должно было выглядеть так: a^2+b^2=7*n. Но при редактировании и "n" почему-то превратилось в показатель степени. Так что Вы совершенно правы.

Василий Котеночкин [20.8K]

4 года назад

не, ну я понЯл, что всё отредактировано.
Тем более, что на этот вопрос вышел после другого вопроса того же автора. И там та же лабуда: текст вопроса к реальному решению прохода не имеет. И тоже заботами модераторов менялся.
Если малчег будит желании имать, то пущай в личку пишыт, как символы ввапросах расстанавливадь