Для начала надо вкурить, что такое алгебра. Вообще алгебра.
В "серьёзной" математике алгебра не совсем то, что мы все учили в школе. Ну то есть то, что учили, - да, алгебра, но не вся алгебра. Точнее, элементарная алгебра. Но в более широком плане под алгеброй понимается некоторая совокупность действий, определяемых над базовыми элементами, характерными для этой системы. То есть вводится какая-то совокупность элементов, не обязательно даже чисел или каких-то переменных величин, затем вводится перечень действий, которые можно проводить над этими элементами, и свойств этих действий, из таких определений элементов и действий на ними следуют некоторые выводы - и вот такая система называется алгеброй.
В частности, элементами алгебры могут быть высказывания. Точно так же, как числа или их обобщение (переменные) являются элементами обычной алгебры. Чтоб лучше понять, что это такое, попробуем вкурить ещё одну вещь - а что такое логика?
В рамках рассматриваемой проблемы под логикой лучше всего понимать способы поиска доказательств каких-то утверждений. Хорошим примером (но именно примером) может быть геометрия, где все выводы построены на доказательствах теорем.
А от доказательств требуется одно: подтверждать истинность какого-то утверждения, исходя из принятых аксиом и определений. Вот что треугольник есть такая-то и такая-то фигура - это определение. А что площадь треугольника равна ah/2 - это уже теорема, требующая доказательства.
И тут вариантов ровно два: верно или неверно рассматриваемое утверждение. Истинно оно или ложно.
Вот эти два понятия - истина и ложь - и являются допустимыми значениями для высказываний как элементов алгебры логики. И действия алгебры логики определены именно над этими двумя переменными.
Как и в обычной алгебре чисел, операции алгебры логики могут быть унарными (применяющимися к одному элементу) и бинарными (где участвует больше одного элемента).
Унарная операция, собсно, всего одна: отрицание. Поскольку существуют всего два допустимых значения элемента такой алгебры, то отрицание просто переводит один элемент в другой, ему противоположный. Делает из истины ложь, или наоборот.
В бинарных операциях число вариантов уже больше. И тут тоже надо вкурить, в чём смысл бинарных операций. Например, в обычной алгебре (или арифметике) вводятся операции сложения и умножения, и им даются строгие определения. Смысл операций, в любом случае, - из исходных элементов получить новый элемент. Из двух чисел получается новое число. А из двух высказываний, аналогично, получается новое высказывание, которое тоже может иметь только одно из двух возможных значений - истина или ложь.
Вот то, как именно из двух исходных высказываний (операндов) для разных допустимых операций её получается результат, и составляет основу алгебры логики.
Для бинарных операций определяются следующие операции:
Дизъюнкция (или объединение, или логическое сложение): если из двух высказываний хотя бы одно истинно, то результат тоже истинен. Часто эту операцию обозначают как ИЛИ, то есть результат истинен, если или один операнд, или другой - истинен
Конъюнкция (или пересечение, или логическое умножение): если из двух высказываний хотя бы одно ложное, то результат тоже ложный. Эту операцию частот обозначают как И: результат истинен, если и один операнд, и другой - истинны.
Для этих операций вводятся и специальные обозначения: U для операции ИЛИ, ∩ для операции И. До кучи, чтоб два раза не вставать, унарную операцию (отрицание) обозначают чертой над символом соответствующей переменной или, при наборе в одну строку, символом ⌐: если А - истина, то Ā (оно же ⌐А) - ложно. И наоборот.
Для операций логического сложения и логического умножения постулируются такие же коммутативный, переместительный и сочетательный законы, что и для обычного сложения и умножения. Ну то есть если ● - какая-то операция, по фигу какая, то А●В = В●А, А●(В●С) = (А●В)●С. Ну и ряд других законов.
Теперь, на десерт, как это "переписать цифрами". Что особенно интересно в применении к компьютерам, где вместо понятий "истина" и "ложь" оперируют их цифровыми эквивалентами - 1 и 0, а вместо знаков U и ∩ - знаками "+" и "*". И тут получается интересно...
Ведь, ещё раз, никаких других значений, кроме "истина" или "ложь", или кроме 1 и 0, в алгебре логики нет. Поэтому операция дизъюнкции (если хотя бы один операнд истина, то и результат тоже истина) в такой записи выглядит несколько непривычно: 1+1=1. Ну натурально, если тут требуется "хотя бы один", а у нас оба, то ничего удивительного, что результат тоже истина. Но вот в "цифровой" записи этот результат с непривычки способен порвать мозг...
Ну вот. Это мелкий ликбез по азам. А если хотите деталей - надо уже лезть в книжки. Ничего сверхсложного в алгебре логики нет, она познаваемая точно так же, как и обычная.
