Это линейное уравнение. Его можно решать через замену y=uv, или методом Лагранжа. Вот решение через замену.
Делаешь замену v=y'. Затем подставляешь в уравнение. У тебя получается:
2yv+v²=0.
Затем преобразуешь полученное уравнение:
v(2y+v)=0.
Это уравнение распадается на два:
v=y'=0 и 2y+v=0.
Решаешь первое:
y'=dy/dx=0=>dy=0,y1=<wbr />C1=const.
Решаешь второе:
2y+y'=0=>y'=dy/dx=–2<wbr />y, dy/y=–2dx,
ln|y|=–2x+C3=>y2= exp(–2x+C3)=exp(C3)•<wbr />exp(–2x)=C2•exp(–2x), где C2=exp(C3).
Таким образом, общие решения дифференциального уравнения будут следующими:
y1=C1, y2=C2•exp(–2x).
Пусть дано дифференциальное уравнение
(y²–x²)•dy+2xy•dx=0.
Разделим это уравнение на xy≠0. Получим:
[(y/x)–(x/y)]•dy+2•d<wbr />x=0.
Сделаем замену t=y/x. Тогда y=tx, dy=t•dx+x•dt. Подставив эти выражения в последнее уравнение, получим:
[t–(1/t)]•(t•dx+x•dt<wbr />)+2•dx=0, или
(t²+1)•dx+x•[t–(1/t)<wbr />]•dt=0=>(t²+1)•dx=x•[ (1/t)–t ]•dt.
Разделяя переменные в полученном уравнении, а затем интегрируя обе части получившегося выражения, получим:
[(1–t²)/((1+t²)•t)]•<wbr />dt=dx/x,
ln|t|–ln|t²+1|=ln|x/<wbr />C1|=>t/(t²+1)=x/C1.
Проведя обратную замену t=y/x, после некоторых преобразований, получим два общих решения исходного дифференциального уравнения:
y=[C1±√(C1²–4x²)]/2=<wbr />C±√(C²–x²), C=C1/2.
Может здесь поймете.Если захотите. Возьмите С любое и проведите касательную к получившейся кривой и посмотрите результаты
Всё просто..
Систему из двух линейных дифуравнений можно преобразовать одно в линейное дифуравнение второго порядка..
Для этого например находим у из первого уравнения:
y=6x-x'
Дифференцируем его:
y'=6x'-x''
Теперь подставляем во второе уравнение:
6x'-x''=3x+2(6x-x')
Теперь приводим:
6x'-x''-3x-12x+2x'=0
Окончательно получаем дифуравнение второго порядка:
-x''+8x'-15x=0
Решаем это уравнение, оно имеет только свободную составляющую..
Находим решение квадратного алгебраического уравнения:
-x^2+8x-15=0
x1=5
x2=3
Оба корня действительные..
Тогда решение уравнения может быть выглядеть:
x(t)=C1e^5t+C2e^3t
Теперь ищем постоянные интегрирования:
x(0)=C1+C2
x'(0)=5C1+3C2
Откуда решая систему получим:
C2=(5x(0)-x'(0))/2
C1=(-3x(0)+x'(0))/2
Из первого уравнения:
y=6x-x'
x'=5C1e^5t+3C2e^3t
Откуда:
y(t)=6(C1e^5t+C2e^3t)-5C1e^5t-3C2e^3t
Окончательно:
y(t)=C1e^5t+3C2e^3t
Постоянные интегрирования через нулевые начальные условия по x и у:
x(0)=C1+C2
y(0)=C1+3C2
Откуда:
С1=(3х(0)-у(0))/2
С2=(х(0)-у(0))/2
Подставляем и получаем окончательные решения:
x(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+((x(0)-y(0))/2)e^3t
y(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+(3(x(0)-y(0))/2)e^3t
