Question

Хорда длиной 24 см перпендикулярна к диаметру, длина которого 25. Найти расстояние от одного конца хорды к концам диаметра.

Answer 1

Чертеж прилагается. A - центр окружности. Отметим, что треугольник BCD - прямоугольный, так как угол CBD опирается на диаметр. Далее, известно, что хорда BK перпендикулярна диаметру CD. Пусть H - точка пересечения хорды и диаметра. Получается, что BH - высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (хотя это не так важно окажется). Также известно, хорда делится этим самым диаметром пополам. Это следует из того, что треугольник BAK - равнобедренный, так как AK=AB (радиусы), а AH - высота, проведенная к основанию (в смысле не к боковой стороне), но значит и медиана тоже. Тогда BH = 1/2 * BK = 12. Треугольник BHA - прямоугольный, по теореме Пифагора

$BA^2 = BH^2 + AH^2; (\frac{25}{2})^2=12^2+AH^2; \frac{625}{4} = \frac{576}{4}+AH^2\\ \frac{49}{4}=AH^2; AH=\frac{7}{2}$

CH = AC - AH = $\frac{25}{2}-\frac{7}{2}=\frac{18}{2}=9$

HD = AD + AH = $\frac{25}{2}+\frac{7}{2} = \frac{32}{2} =16$

Теперь лишь из прямоугольных треугольников BHC и BHD по теореме Пифагора нужно найти BC и BD соответственно.

$BC^2=HC^2+BH^2; BC^2 = 9^2+12^2=144+81=225=15^2; BC=15$

$BD^2 = BH^2+HD^2; BD^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2; BD=20.$

Ответ: 15 и 20.