По условию MN=MD, следовательно, треугольник MND равнобедренный, и его высота <u>МО является срединным перпендикуляром и его медианой.</u> Если описать вокруг треугольника MND окружность, то, поскольку центр описанной окружности лежит на срединном перпендикуляре, диаметр МК пересечет DN по его середине в точке О.
Отрезок ND - гипотенуза прямоугольного треугольника DNC, D и N лежат на окружности. О - середина гипотенузы, ⇒ ON - радиус описанной вокруг треугольников NCD и MND , а ND- диаметр этой описанной окружности. Вписанный угол DMN опирается на диаметр и равен половине центрального угла MOD, т.е. угол DMN=180º:2=90º .
В равнобедренном прямоугольном треугольнике MDN сумма острых углов при основании ND равна 90º, эти углы равны и каждый из них равен 90º:2=45º. При этом их значение не будет зависеть от того, где выбрана точка М. Главное условие - равенство МN и MD.
<u>Ответ: </u>величина <span>угла МДN=45º</span>
Продлим стороны АВ и СД до пересечения.
Получим равносторонний треугольник АОД
Пусть его сторона равна а
Отрезки
АВ = 1
ВС = √3
СД = 2
Тогда в синем треугольнике ОВС по теореме косинусов
ВС² = ОВ² + ОС² - 2*ОВ*ОС*cos(60°)
3 = (a-1)² + (a-2)² - 2*(a-1)*(a-2)*1/2
3 = a²-2a+1 + a²-4a+4 - a²+3a-2
3 = a²-3a+3
a² - 3a = 0
a₁ = 0 - плохой корень, отбросим
a₂ = 3 - хороший корень :)
Т.е. стороны ΔОВС:
ОВ = 3-1 = 2
ОС = 3-2 = 1
ВС = √3
Треугольник прямоуголен:
2² = (√3)² + 1²
4 = 3 + 1
∠ВСО = 90°
∠ВСД = 180 - 90 = 90°
∠ОВС = 90 - 60 = 30°
∠АВС = 180 - 30 = 150°
100 градусов
угол FBO =50; BOF=50 ---> BFO = 80 вывод AFO = AFB-BFO=180-80=100