![\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x(x-1)}{3x^3-x+2} =\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x}{3x^3-x+2}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+++%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx%28x-1%29%7D%7B3x%5E3-x%2B2%7D++%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2-x%7D%7B3x%5E3-x%2B2%7D%3D)
Разделим числитель и знаменатель на старший степень х, то есть х³
![=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} }{3- \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3} } = \frac{0-0}{3-0+0} =0](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cdisplaystyle+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%7D%7B3-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B0-0%7D%7B3-0%2B0%7D+%3D0)
Ответ: 0.
<u>Пример 2.</u>
![\displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{x^2-6x-16}{x^2+x-2} =\lim_{x \to -2} \frac{x^2+2x-8x-16}{x^2-x+2x-2} =\\ \\ \\ =\lim_{x \to -2} \frac{x(x+2)-8(x+2)}{x(x-1)+2(x-1)}=\lim_{x \to -2} \frac{(x-8)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=\\\\ \\ =\lim_{x \to -2} \frac{x-8}{x-1}= \frac{-2-8}{-2-1} = \frac{10}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clim_%7Bx+%5Cto+-2%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2-6x-16%7D%7Bx%5E2%2Bx-2%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+-2%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-8x-16%7D%7Bx%5E2-x%2B2x-2%7D+%3D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+-2%7D++%5Cfrac%7Bx%28x%2B2%29-8%28x%2B2%29%7D%7Bx%28x-1%29%2B2%28x-1%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+-2%7D++%5Cfrac%7B%28x-8%29%28x%2B2%29%7D%7B%28x-1%29%28x%2B2%29%7D%3D%5C%5C%5C%5C+%5C%5C+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+-2%7D++%5Cfrac%7Bx-8%7D%7Bx-1%7D%3D+%5Cfrac%7B-2-8%7D%7B-2-1%7D+%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D++++)
Ответ: 10/3
<u>Пример 3.</u>
![\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3x^3+x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{x(3x^2+1)}{x}=\lim_{x \to 0} (3x^2+1)=3\cdot 0^2+1=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B3x%5E3%2Bx%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7Bx%283x%5E2%2B1%29%7D%7Bx%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+%283x%5E2%2B1%29%3D3%5Ccdot+0%5E2%2B1%3D1++)
Ответ: 1.
<u>Пример 4.</u>
![\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4^x-x}{3} = \frac{4^0-0}{3} = \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B4%5Ex-x%7D%7B3%7D+%3D+%5Cfrac%7B4%5E0-0%7D%7B3%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+)
Ответ: 1/3.
Известно, что tga*ctga=1 есть одно из основных тригонометрических тождеств.
![tg\frac{\pi}{4} ctg(-\frac{\pi}{4})+cos \frac{3\pi}{2} sin \frac{\pi}{2}=-1+cos(\pi+\frac{\pi}{2})*1=-1-0=-1.](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20ctg%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%29%2Bcos%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2%7D%20sin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D-1%2Bcos%28%5Cpi%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%2A1%3D-1-0%3D-1.)
Точки перемены знака - это как раз-таки нули функции. То есть границы знакопостоянства функции
для этой функции это
3x+1=0
x=-1/3 - точка перемены знака
Я не знаюововрврвовтвичичичививтчтытвтытытыты
См скриншот
=====================================