Question

Тригонометричесские уровнения
решить любые 4 уровнения

Answer 1

1.
$\sqrt{3} \cos x=\sin 2x \\\ \sqrt{3} \cos x=2\sin x\cos x \\\ \sqrt{3} \cos x-2\sin x\cos x=0 \\\ \cos x( \sqrt{3} -2\sin x)=0 \\\ \cos x=0; \ x_1= \frac{ \pi }{2} + \pi n, \ n\in Z \\\ \sqrt{3} -2\sin x=0; \ \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2} ; \ x_2=(-1)^k \frac{ \pi }{3} + \pi k, \ k\in Z$

2.
$\sin3x-\sin7x=0 \\\ 2\sin \frac{3x-7x}{2}\cos \frac{3x+7x}{2} =0 \\\ 2\sin (-2x)\cos 5x =0 \\\ -2\sin 2x\cos 5x =0 \\\ \sin 2x\cos 5x =0 \\\ \sin2x=0; \ 2x= \pi n; \ x_1= \frac{ \pi n}{2} , \ n\in Z \\\ \cos5x=0; \ 5x= \frac{ \pi }{2} + \pi n; \ x_2= \frac{ \pi }{10} + \frac{ \pi n}{5} , \ n\in Z$

3.
$\cos2x+\cos6x=\cos4x \\\ 2\cos \frac{2x+6x}{2}\cos \frac{2x-6x}{2} =\cos4x \\\ 2\cos 4x \cos(-2x) =\cos4x \\\ 2\cos 4x \cos2x =\cos4x \\\ 2\cos 4x \cos2x-\cos4x=0 \\\ \cos 4x ( 2\cos2x-1)=0 \\\ \cos4x=0; \ 4x= \frac{ \pi }{2} + \pi n ; \ x_1= \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{4} , \ n\in Z \\\ 2\cos2x-1=0; \ \cos2x= \frac{1}{2} ; \ 2x=\pm \frac{ \pi }{3} +2 \pi n; \ x_2= \pm \frac{ \pi }{6} + \pi n, \ n\in Z$

4.
$\cos^2x-\sin2x=0 \\\ \cos^2x-2\sin x\cos x=0 \\\ \cos x(\cos x-2\sin x)=0 \\\ \cos x(2\sin x-\cos x)=0 \\\ \cos x=0; \ x_1= \frac{ \pi }{2} + \pi n. \ n\in Z \\\ 2\sin x-\cos x=0; \ 2\mathrm{tg} x-1=0; \ \mathrm{tg} x= \frac{1}{2} ; \ x_2=\mathrm{arctg} \frac{1}{2} + \pi n. \ n\in Z$

5.
$\cos2x=\sin4x \\\ \cos2x=2\sin2x\cos2x \\\ 2\sin2x\cos2x-\cos2x=0 \\\ 2\sin2x\cos2x-\cos2x=0 \\\ \cos2x(2\sin2x-1)=0 \\\ \cos2x=0; \ 2x= \frac{ \pi }{2} + \pi n; \ x_1= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi n}{2} , \ n\in Z \\\ 2\sin2x-1=0; \ \sin2x= \frac{1}{2} ; \ 2x=(-1)^k \frac{ \pi }{6} + \pi k; \ x_2=(-1)^k \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi k}{2} , \ k\in Z$

6.
$\sin^2x+\sin x-2\cos ^2x=1 \\\ \sin^2x+\sin x-2(1-\sin^2x)=1 \\\ \sin^2x+\sin x-2+2\sin^2x=1 \\\ 3\sin^2x+\sin x-3=0 \\\ D=1^2-4\cdot3\cdot(-3)=37 \\\ \sin x \neq \frac{-1- \sqrt{37} }{6} \ \textless \ -1 \\\ \sin x= \frac{-1+ \sqrt{37} }{6} ; \ x=(-1)^k\arcsin\frac{-1+ \sqrt{37} }{6}+ \pi k, \ k\in Z$