1 задача 140 гр
2 задача 45 гр
Решение на фото
В основании правильной четырехугольной пирамиды квадрат, высота проецируется в точку пересечения его диагоналей.
Пусть К - середина МА.
1. Построение сечения.
В плоскости (АМС) соединим точки К и С. КС∩МО = Т.
В плоскости (DMB) через точку Т проведем прямую, параллельную BD. Точки L и H - точки пересечения этой прямой с ребрами MB и MD соответственно.
KLCH - искомое сечение (Точки С и К лежат в плоскости сечения, HL║BD, значит и сечение параллельно BD).
2.
BD⊥AC как диагонали квадрата
BD⊥MO, т.к. МО высота пирамиды, ⇒ BD⊥(AMC)
KC⊂(AMC) ⇒ BD⊥KC ⇒ HL⊥KC
В четырехугольнике KLCH диагонали перпендикулярны, поэтому его площадь можно найти как половину произведения диагоналей.
AC = 6√2 как диагональ квадрата.
Из ΔАМС по теореме косинусов
cosA = (AM² + AC² - MC²)/(2AM·AC)
Из ΔАКС по теореме косинусов
cosA = (AK² + AC² - KC²)/(2AK·AC)
Приравняем:
(AM² + AC² - MC²)/(2AM·AC) = (AK² + AC² - KC²)/(2AK·AC)
(144 + 72 - 144)/(2·12·6√2) = (36 + 72 - KC²)/(2·6·6√2)
72/2 = 108 - KC²
KC² = 72
KC = 6√2
В ΔАМС точка Т - точка пересечения медиан. Значит,
МТ:ТО = 2:1, и МТ:МО = 2:3
ΔHML подобен ΔDMB по двум углам (угол при вершине М общий, ∠MHL = ∠MDB как соответственные при пересечении HL║BD секущей MD) ⇒
HL:DB = МТ:МО = 2:3
HL = BD·2/3 = 6√2 · 2/3 = 4√2
Sklch = KC·HL/2 = 6√2·4√2/2 = 24
АС = х, АВ = 2х (катет, лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы)
По т. Пифагора 4х² - х² = 784
3х² = 784
х² = 784/3
х = 28√3/3 ( АС)
2х = 56√3/3 (это АВ)
угол А = 60
