<em>В треугольнике центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис его углов</em>.
АА1- биссектриса. ∠ВАА1=∠САА1. ⇒
В описанной вокруг ∆ АВС окружности вписанные ∠ВАА1 и ∠САА1 опираются на хорды, стягивающие равные дуги:
<em> ВА1=СА1</em>.
Проведем биссектрису СМ угла ВСА.
<span>АА1 и СМ - хорды. </span> <em>Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.</em>
∠СОА1=(◡СА1+◡АМ):2
Вписанный угол равен половине градусной величины дуги, на которую опирается. ⇒
∠МСА1=( ◡МВ+◡ВА1):2
◡МВ=◡АМ ( т.к. ∠ВСМ=∠АСМ).
◡ВА1=◡СА1 как дуги, на которые опираются равные ∠ВАА1 и ∠САА1
Следовательно, (◡СА1+◡АМ):2=(◡МВ+<span>◡</span><span>ВА1):2 </span>
Отсюда следует равенство ∠СОА1=∠ОСА1, ⇒
∆ ОА1С - равнобедренный, ⇒<em>ОА1=А1С</em>
Отрезки <em>ВА1=СА1=ОА1</em>. Доказано.