9.54x-6.16-8.35+1.68x=11.25 9.54x+1.68x=6.16+8.35+11.25 11.22x=25.76 x=25.76/11.22 x=2.2959
Решение:
а) b₁=20 (см) - сторона самого большого квадрата и первый член геометрической прогрессии.
S₁=b₁²=20²=400 (см²) - площадь самого большого квадрата.
б) b₂ - сторона второго квадрата и второй член геометрический прогрессии.
По т. Пифагора:
![b_{2}= \sqrt{( \frac{b_{1}}{2} )^2+( \frac{b_{1}}{2} )^2}= \sqrt{ \frac{b_{1}^2}{4}+ \frac{b_{1}^2}{4} }= \sqrt{ \frac{2b_{1}^2}{4} }= \sqrt{ \frac{b_{1}^2}{2} }= \frac{b_{1}}{ \sqrt{2} }= \frac{b_{1} \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=b_%7B2%7D%3D+%5Csqrt%7B%28+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7B2%7D+%29%5E2%2B%28+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7B2%7D+%29%5E2%7D%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%5E2%7D%7B4%7D%2B+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%5E2%7D%7B4%7D++%7D%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B2b_%7B1%7D%5E2%7D%7B4%7D+%7D%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%5E2%7D%7B2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D++++++)
в) q - знаменатель геометрической прогрессии.
![q= \frac{b_{2}}{b_{1}}= \frac{b_{1} \sqrt{2} }{2}:b_{1}= \frac{b_{1} \sqrt{2} }{2}* \frac{1}{b_{1}} = \frac{ \sqrt{2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B2%7D%7D%7Bb_%7B1%7D%7D%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%3Ab_%7B1%7D%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7Bb_%7B1%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D++++)
г) b₃ - сторона третьего квадрата и третий член геометр. прогрессии.
![b_{3}=b_{1}*q^2=b_{1}*( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2=b_{1}* \frac{2}{4}=b_{1}* \frac{1}{2}= \frac{b_{1}}{2}= \frac{20}{2}=10](https://tex.z-dn.net/?f=b_%7B3%7D%3Db_%7B1%7D%2Aq%5E2%3Db_%7B1%7D%2A%28+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%29%5E2%3Db_%7B1%7D%2A+%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%3Db_%7B1%7D%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7B20%7D%7B2%7D%3D10++++)
д)
![q= \frac{ \sqrt{2} }{2}=0.71 \ \textless \ 1](https://tex.z-dn.net/?f=q%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%3D0.71+%5C+%5Ctextless+%5C+1+)
Так как |q|<1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Соответственно сумма бесконечно убывающей прогрессии равна:
![S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{20}{1- \frac{ \sqrt{2} }{2} }= \frac{20}{ \frac{2- \sqrt{2} }{2} }= \frac{20*2}{2- \sqrt{2} }= \frac{40(2+ \sqrt{2} )}{(2- \sqrt{2} )(2+ \sqrt{2} )}= \frac{40(2+ \sqrt{2} )}{2^2-( \sqrt{2} )^2} = \\ \\ = \frac{40(2+ \sqrt{2} )}{4-2}=20(2+ \sqrt{2} )=40+20 \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7B1-q%7D%3D+%5Cfrac%7B20%7D%7B1-+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B20%7D%7B+%5Cfrac%7B2-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B20%2A2%7D%7B2-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B40%282%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%29%7D%7B%282-+%5Csqrt%7B2%7D+%29%282%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%29%7D%3D+%5Cfrac%7B40%282%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%29%7D%7B2%5E2-%28+%5Csqrt%7B2%7D+%29%5E2%7D+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%0A%3D+%5Cfrac%7B40%282%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%29%7D%7B4-2%7D%3D20%282%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%29%3D40%2B20+%5Csqrt%7B2%7D+++++++)
Ответы:
Сумма площадей всех квадратов равна 40+20√2 (см²).
Дополнительные вопросы:
1. Сторона третьего по порядку квадрата равна 10 см.
2. Площадь наибольшего квадрата равна 400 см².
3. Знаменатель равен (√2)/2.
4. Выбери, какую из формул надо использовать в решении задач:
4 вариант:
![S= \frac{b_{1}}{1-q}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cfrac%7Bb_%7B1%7D%7D%7B1-q%7D+)
.