Question

В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС, где АВ=ВС, проведена биссиктриса СМ. Найдите периметр АВС, если АС=18, ВМ=24

Answer 1

Гипотенуза делит противолежащую сторону на отрезки.  пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть АВ=ВС=х,

тогда АМ=х-24. Составим и решим пропорцию

ВС/АС=ВМ/АМ,  х/18=24/х-24

х*(х-24)=18*24;   х²-24х-18*24=0

х₁,₂=12±√(12²+18*24)=12±√(12²+12*36)=12±√(12*48)=12±24

х₁=36; х₂-12- не подходит по смыслу задачи.

Значит, ВС =АВ=36, а АС =18, тогда периметр равен 36+36+18=72+18=90

Ответ периметр равен 90

Answer 2

Пусть BC = x, тогда AM = BA - BM = x - 24

По свойству биссектрисы имеем:

$\frac{BC}{BM}=\frac{AC}{AM}$

Подставим все известные величины и найдём x:

$\frac{x}{24}=\frac{18}{x-24}\\ \\ x(x-24)=18\cdot 24\\ \\ x^2-24x-432=0\\\\ \sqrt{D}=\sqrt{576+1728}=\sqrt{2304}=48\\ \\ x_1=\frac{24-48}{2}=-12 \\ x_2=\frac{24+48}{2}=36$

x₁ не подходит по условию задачи, тогда BC = AB = 36

PΔABC = AB + BC + AC = 36 + 36 + 18 = 90

Ответ: 90