Question

Треугольник у которого стороны и площадь являются целыми числами и периметр которого 64см.Чему равны его стороны?Чему равна его наименьшая высота?

Answer 1

Немного не понял, нужна наименьшая из высот из всех треугольников или нужны наименьшие высоты всех треугольников?
Ясно, что наименьшая высота будет у самого длинного и узкого треугольника. 
Площадь треугольника будем определять через длины сторон по формуле Герона
$p = \frac {a+b+c}{2}\\ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Периметр по условию 64, полупериметр 32, 2^4 можно сразу извлечь из под корня и дальше под корнем держать только двойку
начинаем...
Самый длинный треугольник со стороной а=31
b=31, с=2 множители в формуле площади под корнем 2,1,1,30 мимо
b=30, с=3 множители в формуле площади под корнем 2,1,2,29 снова не квадрат 
b=29, с=4 множители в формуле площади под корнем 2,1,3,28 нет
b=28, с=5 множители в формуле площади под корнем 2,1,4,27 нет
b=27, с=6 множители в формуле площади под корнем 2,1,5,26 нет
b=26, с=7 множители в формуле площади под корнем 2,1,6,25 нет
...
b=17, с=16 множители в формуле площади под корнем 2,1,15,16 нет
среди треугольников со  стороной 31 ни одного с целочисленной площадью
а = 30
b=30, с=4 множители в формуле площади под корнем 2,2,2,28 нет
b=29, с=5 множители в формуле площади под корнем 2,2,3,27 -
Язь, здоровенный язь!, вот она, рыба моей мечты!!!
В смысле, под корнем выражение, являющееся полным квадратом
S^2 = 32*2*3*27 = 64*81
S = 9*8 = 72 
Самая короткая высота - это высота, проведённая к длинной стороне, к стороне а
S = 1/2*a*h
h = 2S/a = 144/30 = 4,8 см