Точка С находится на оси ординат, значит имеет координаты С(0;y;0). Вектор АС(-2;y-5;-8). Модуль вектора (его длина) |AC|=√(4+(y-5)²+64). Вектор ВС(-6;(y-1);0). Модуль вектора (его длина) |BC|=√(36+(y-1)²+0). Модули (длины) этих векторов равны по условию. Значит √(4+(y-5)²+64)=√(36+(y-1)²+0). Возведем обе части в квадрат: 4+(y-5)²+64=36+(y-1)² или 4+y²-10y+25+64=36+y²-2y+1 8y=56. y=7. Ответ: С(0;7;0)
Проверим: |AC|=√(4+4+64)=√72, |BC|=√(36+36+0)=√72. То есть точка С находится на равном расстоянии (равноудалена) от точек А и В.
Пусть катеты x и y, и биссектриса угла между гипотенузой длины a и катетом x равна a/√3; Тогда отрезки второго катета равны y*x/(x + a) и y*a/(x + a); и (y*x/(x + a))^2 + x^2 = a^2/3; x^2*(a^2 - x^2) + x^2*(x + a)^2 = a^2*(x + a)^2/3; что легко приводится к виду (x/a)^2 - (1/6)*x/a -1/6 = 0; (для начала надо сократить на (x + a) ); x/a = 1/2; то есть это треугольник с углом 60°; y/a = √3/2;