Question

Даны координаты четырех точек: А(4, -2), В(8,0), С(6,4), D(2,2). определите вид четырехугольника АВСD

Answer 1

Вектора
АВ(4;2)
ВС(-2;4)
CD(-4;-2)
AD(-2;4)

Длина у всех одинаковая
√(2^2+4^2)= √20

Значит это как минимум ромб

Также
АВ*АD= 4*(-2)+2*4= 0
Угол А прямой.
Значит искомый четырехугольник квадрат

Answer 2

Найдем длины сторон четырехугольника ABCD

|AB| = $\sqrt{(8-4)^2+(0-(-2))^2}=\sqrt{16+4} =\sqrt{20}$

|BC| = $\sqrt{(6-8)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16} =\sqrt{20}$

|CD| = $\sqrt{(2-6)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4} =\sqrt{20}$

|AD| = $\sqrt{(2-4)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{4+16} =\sqrt{20}$

Поскольку |AB| = |BC| = |CD| = |AD|, то четырехугольник ABCD - ромб. Осталось теперь проверить то что является ли ABCD квадратом

Уравнение прямой АВ: $\displaystyle \frac{x-4}{8-4}=\frac{y+2}{0+2}~~\Rightarrow~~ y=\frac{x-8}{2}$

Уравнение прямой BC: $\displaystyle \frac{x-8}{6-8}=\frac{y-0}{4-0}~~\Rightarrow~~ y=-2x+16$

Найдем теперь угол между прямыми AB и BC:

$\displaystyle tg\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1} =\frac{-2-0.5}{1+0.5\cdot(-2)}=\frac{\pi}{2} \\ \alpha =\mathrm{arctg\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)=90а}$

Итак, ABCD - квадрат.

Ответ: ABCD - квадрат.