Треугольник АВО=ОВС по двум сторонам и углу между ними(АВ=ВС, т.к. треугольник АВС равнобедренный, угол АВО=ОВС, т.к. ВО - биссектриса; ВО - общая сторона)
треугольник АВО - прямоугольный, т.к. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой. Значит сумма двух острых углов равна 90 градусов. Т.к. угол А=60 градусов, значит угол АВО=30 градусов.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, т.е. против угла АВО=30 градусов лежит катет АО=8 см. АВ= 2АО= 16 см
Предварительные вычисления.
Радиус вписанной окружности основания
r = √3/6·a
Радиус описанной окружности
R = √3/3·а
Площадь основания
S = √3/4·a²
а) Сечение параллельно основанию через середину высоты.
Треугольник этого сечения подобен треугольнику основания с коэффициентом подобия k = 0,5
Площадь сечения относится с площадью основания как k²
s₁ = S·k² = S/4 = √3/16·a²
б) Сечение проходит через боковое ребро и высоту
Основание треугольника сечения r+R, высота h
Площадь
s₂ = 1/2(r+R)h = 1/2(√3/6·a+√3/3·a)h = 1/2√3/2·ah = √3/4·ah
в) сечение <span>через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру
В треугольнике из прошлого пункта и в текущем высота h</span>₃<span> общая (на рисунке синяя). Найдём ей через площадь треугольника из прошлого пункта.
Нам нужна длина бокового ребра пирамиды
l</span>² = h²+R² = h²+a²/3
l = √(h²+a²/3)
s₂ = 1/2 h₃l
√3/4·ah = 1/2 h₃√(h²+a²/3)
√3/2·ah = h₃√(h²+a²/3)
h₃ = √3·ah/(2√(h²+a²/3))
s₃ = 1/2·h₃a = √3·a²h/(4√(h²+a²/3)) = 3a²h/(4√(3h²+a²))
<span>г) сечение через центр основания параллельно боковой грани
</span>Треугольник этого сечения параллелен и подобен боковой грани пирамиды с коэффициентом подобия k = R/(R+r) = 2/3
Найдём плошадь боковой стороны
Её высота (синяя)
l² = h²+r² = h²+3/36·a² = h²+a²/12
l = √(h²+a²/12)
площадь боковой стороны
s = 1/2·al = 1/2·a√(h²+a²/12)
площадь сечения
s₄ = k²s = 4/9·1/2·a√(h²+a²/12) = 2/9·a√(h²+a²/12)
<span>д) Сечение через середины четырех ребер
Такое сечение можно построить только проходящим через середины двух рёбер основания и двух боковых рёбер
Сечение имеет форму четырёхугольника (или равносторонняя трапеция или прямоугольник)
Нижнее ребро b</span>₁ - средняя линия основания, его длина
b₁ = a/2
<span>Боковое
b</span>₂ и b₄ - средняя линия боковой грани и в два раза короче бокового ребра, длину его вычисляли раньше √(h²+a²/3)
b₂ = b₄ = (√(h²+a²/3))/2
верхнее ребро b₃ - средняя линия боковой грани, проведённая параллельно основанию, его длина
b₃ = a/2
<span>Итого - у нас прямоугольник с площадью
s</span>₅ = a/2·(√(h²+a²/3))/2 = (a√(h²+a²/3))/4<span>
</span>
Https://ru-static.z-dn.net/files/dce/9adcb06c1eeafe9fb2aa6dc6efae6711.jpg
<AOC=180⁰;
<AOB=180⁰-<BOC=180⁰-60⁰=120⁰;
2)AB=BE=BK по построению (условие задачи);⇒точки А,Е и К равноудалены
от точки В.Значит,точка В -центр окружности, а ВА, ВЕ и BK -радиусы,
Осталось доказать,что F принадлежит окружности,т.е что АF является хордой
окружности.⇒
ВD перпендикулярна АF(по условию),
АD=DF(по условию)⇒значит,АF-хорда,(так как радиус,проведенный перпендикулярно
хорде,делит ее пополам),а,значит,точка F принадлежит окружности,что и требовалось доказать