Question

Как найти длину промежутка убывания функции y=

Answer 1

Функция убывает, когда первая производная отрицательная, найдём этот промежуток:
$y=\left(x^2+3x-39\right)e^x;\\ y'=\left(x^2+3x-39\right)'\cdot e^x+\left(x^2+3x-39\right)\cdot \left(e^x\right)'=\\ =\left(2x+3\right)e^x+\left(x^2+3x-39\right)e^x=\\ =e^x\left(x^2+2x+3x+3-39\right)=e^x\left(x^2+5x-36\right)$
найдём промежутки убывания
$y'=e^x\left(x^2+5x-36\right);\\ e^x\geq0;\\ x^2+5x-36=0;\\ D=25+144=169=(\pm13)^2;\\ x_1=\frac{-5-13}{2}=-\frac{-18}{2}=-9; x_2=\frac{-5+13}{2}=-\frac{8}{2}=4;$
если возьмём ноль, то увидемю что производдная =-36<0, то-есть при [-9;4], данная функция убывает
длина промежутка равна(4-(-9)=13)(легко заметить, что арифметический корень с дискриминанта, делённый на первый коэфициент
 и есть длина нашего промежутка)
$x_1=\frac{-b}{2\cdot a}-\frac{\sqrt{D}}{2\cdot a};\\ x_2=\frac{-b}{2\cdot a}+\frac{\sqrt{D}}{2\cdot a};\\ \Delta x=x_2-x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{D}}{2a}+\frac{b}{2x}+\frac{\sqrt{D}}{2a}=\\ =\frac{\sqrt{D}}{a}$

Answer 2

$y'=(2x+3)e^x+(x^2+3x-39)e^x=e^x(x^2+5x-36)=\\\\=e^x(x-4)(x+9)$

ф-ция убывает, где производная не больше нуля
$e^x(x-4)(x+9)\leq 0$
т.к. e^x >0 при всех икс, можно на него подулить обе части неравенства и знак не изменится
$(x-4)(x+9) \leq 0\\x\in[-9,4]$

ответ 13