<span><em>В прямоугольном треугольнике АВС угол С = 90°, угол В = 60°, биссектриса ВК = 8 см. <u>Найти АС</u>.</em></span>
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. ⇒
∠А=90°-60°=30°
Биссектриса угла В делит его на два по 30°.
В ∆ АКВ углы при АВ равны. ⇒ ∆ АКВ- равнобедренный, и АК=ВК=8 см.
<span>В прямоугольном ∆ КСВ катет КС по свойству катета, противолежащего углу 30°, <u>равен половине гипотенузы</u>. </span>
<span>КС=КВ:2=8:2=4 см. </span>
<span>АС=АК+КС=8+4=12 см</span>
S=b*h=6*7=42см²................
Назовем трапецию ABCD начиная с левого края большего основания, двигаясь по часовой стрелке.Так как центр окружности лежит на большем основании, это значит, что трапеция равнобедренная => большее основание является диаметром окружности. Проведем GO перпендикулярно AD. Получим угол AGD=90 градусов, как угол опирающийся на диаметр. Рассмотрим треугольник AGD -прямоугольный. Пусть AG=x,тогда и GD=x. По теореме Пифагора: 400=2
=> х=10
. Рассмотрим треугольник AGO - прямоугольный. По теореме Пифагора: GO =10. GO равно высоте трапеции. Получаем S=(BC+AD)GO/2= (0,6*20+20)*10/2=160
Треугольник АВС - прямоугольный, то sinA=ВС/АВ; СВ=sinA*АВ=4/5*25=4*5=20.
По теореме Пифагора АС=sqrt(АВ^2-СВ^2)=sqrt(625-400)=sqrt(225)=15.
Треугольник АСН - прямоугольный(т.к СН - высота), то sinА=СН/АС, отсюда СН=sinA*AC=4/5*15=12.
По теореме пифагора АН=sqrt(АС^2-CH^2)=sqrt(225-144)=sqrt(81)=9.
Ответ: АН=9.