task/30190862 Решить уравнение x² + 4x²/ (x+2)² = 5
решение x² +4x²/(x+2)² = 5 ОДЗ: x≠ - 2 * * * x∈( -∞; -2) ∪ (-2 ; +∞ )
постановка: y = 2x / (x+2) ⇒ xy =2(x - y)
x² + y² = 5 ⇔(x - y)² +2xy = 5 ⇔(x - y)² + 4(x - y) - 5 =0 квадратное уравнение относительно (x-y) . [ x - y = - 5 ; x - y = 1 .
а) x - 2x / (x+2) = - 5 ⇔ x² + 5x + 10 = 0 не имеет действительных корней
б) x - 2x / (x+2) = 1 ⇔x² - x - 2 = 0 . ⇔[ x = -1 ; x = 2. ответ: - 1 ; 2.
2- ой способ Выделяем полный квадрат
( x - 2x/(x+2) )² + 4x²/(x+2) =5 ⇔( x²/(x+2) )² +4* <u>x²</u><u>/</u><u> (x+2</u>) - 5 =0
* * * t²+4t -5 =0 * * *
а) x²/ (x+2) = - 5 ⇔x² +5x +10 =0 б) x²/ (x+2) = 1⇔x²-x -2 =0
2. решить уравнение 20( (x-2)/(x+1) )²- 5( (x+2)/(x-1) )²+48(x²- 4)/(x²- 1) =0 ⇔
20( (x-2)/(x+1) )²+48( (x-2)/(x+ 1) ) *( (x+2)/(x - 1) ) - 5( (x+2)/(x-1) )² = 0
ОДЗ: x ≠ -1 ; x ≠ 2 * * * x ∈( -∞ ; -1) ∪ ( -1 ; 2) ∪ (2 ; +∞)
замена : u = (x-2)/ (x+1) ; v = (x+2)/(x-1)
20u² + 48vu - 5v² = 0 * * * однородное уравнение 2 -го порядка * * *
20(u/v)² + 48(u/v) -5 =0. t = u/v =(x-2)(x-1)/(x+1)(x+2)=(x²-3x+2)/(x²+3x+2)
20t² +48t -5 =0 D₁= D/4 =24² - 20*(-5) =576+100 = 676 =26²
t =(-24 ± 26)/20 ⇒ [ t = - 5 / 2 ; t = 1 / 10.
а) (x²-3x+2) / (x²+3x+2) = -5/2 ⇔ 2x²-6x +4 = -5x²-15x-10 ⇔
7x²+9x +14= 0 D = 9²- 4*7*14=9² - 2*14² < 0 не имеет действ. корней
б) (x²-3x+2) / (x²+3x+2) = 1/10 ⇔10x²-30x+20 = x²+3x+2 ⇔
9x²-33x+18 =0 ⇔ 3x² - 11x+6 = 0 ; D= 11² - 4*3*6 =121 -72 =49 =7²
x = ( 11 ± 7)/6 ⇔ [ x=2/3 ; x =3 . ответ: 2/3 ; 3.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
20u² + 48v*u - 5v² = 0 * * * однородное уравнение 2 -го порядка * * *
D₁= D/4 =(24v)² - 20*(-5v²) =576v²+100v² = 676v² =(26v)²
u =(-24v ± 26v)/20⇔[u= -5v/2 ; u=v/10. * * * [u/v = -5/2 ; u/v =1/10* * *
