Question

Решите тригонометрическое уравнение √(1+sin2x)-(√2)cos3x=0

Answer 1

√(1 + sin 2x) = √(sin^2 x + cos^2 x + 2sin x*cos x) =
= √(sin x + cos x)^2 = |sin x + cos x|
Далее
sin x + cos x = √2*(1/√2*cos x + 1/√2*sin x) =
= √2*(cos Π/4*cos x + sin Π/4*sin x) = √2*cos(x-Π/4)
Подставляем
√2*|cos(x+Π/4)| - √2*cos 3x = 0
Делим на √2
|cos(x+Π/4)| - cos 3x = 0

1) Если cos(x-Π/4) < 0, то
-cos(x-Π/4) - cos 3x = 0
Сумма косинусов
-2cos((x-Π/4+3x)/2)*cos((x-Π/4-3x)/2) = 0
-2cos(2x-Π/8)*cos(-x-Π/8) = 0
A) cos(2x-Π/8) = 0
2x-Π/8 = Π/2+Π*n; x = 5Π/16+Π/2*n
Но cos(x-Π/4) = cos(Π/16+Π/2*n) < 0
n=1 и n=2 подходят, n=0 и n=3 не подходят
x1 = 5Π/16+Π/2*(4k+1)
x2 = 5Π/16+Π/2*(4k+2)
B) cos(-x-Π/8) = cos(x+Π/8) = 0
x+Π/8 = Π/2+Π*n; x = 3Π/8+Π*n
Но cos(x-Π/4) = cos(Π/8+Π*n) < 0
Подходят только нечётные n.
x3 = 3Π/8+Π*(2k+1)

2) Если cos(x-Π/4) = 0, то выполняется система:
{ cos(x-Π/4) = 0
{ cos 3x = 0
Получаем
{ x-Π/4 = Π/2+Π*n; x = 3Π/4+Π*n
{ 3x = Π/2+Π*n; x = Π/6+Π/3*m
Переменные n и m независимы. Но ни при каких n и m эти корни не совпадают. Поэтому здесь корней нет.

3) Если cos(x-Π/4) > 0, то
cos(x-Π/4) - cos 3x = 0
Разность косинусов
-2*sin((x-Π/4-3x)/2)*sin((x+Π/4+3x)/2) = 0
-2*sin(-x-Π/8)*sin(2x+Π/8) = 0
A) sin(-x-Π/8) = -sin(x+Π/8) = 0
x +Π/8 = Π*n; x = -Π/8+Π*n
Но cos(x-Π/4) = cos(-3Π/8+Π*n) > 0
Подходят только четные n
x4 = -Π/8 + Π*2k
B) sin(2x+Π/8) = 0
2x+Π/8 = Π*n
2x = -Π/8 + Π*n; x = -Π/16+Π/2*n
Но cos(x-Π/4) = cos(-5Π/16+Π/2*n) > 0
n=0 и n=1 подходят, n=2 и n=3 не подходят.
x5 = -5Π/16 + Π/2*4k
x6 = -5Π/16 + Π/2*(4k+1)

Ответ: x1; x2; x3; x4; x5; x6 отмечены жирным.