Чтобы посчитать площадь равностороннего треугольника, периметр которого равен 12 см, найдем его стороны.
Стороны равны: 12 ÷ 3 = 4 см.
Рассчитаем площадь по формуле:
S = 1/2 × а × h, где а - сторона треугольника, h - высота.
1)
Все стороны одинаковой длины а = b = c.
Все углы в равностороннем треугольнике одинаковые по 60°: 180 ÷ 3 = 60°.
Площадь треугольника равна:
S = 1/2 × a × a × sin ∠ab = 1/2 × а^2 × sin 60° =
S = 1,73 × 16/4 = 1,73 × 4 = 6,92 = 6,9.
Ответ: площадь равностороннего треугольника периметром 12 см равна 6,9 см2.
2)
Найдем высоту равностороннего треугольника, зная длину одной стороны (4 см). Зная высоту, можно найти площадь треугольника по формуле:
S = 1/2 × а × h.
Медиана СЕ (гипотенуза, высота) делит равносторонний треугольник АСВ на два прямых с одинаковой площадью АЕС, СЕВ.
Высота СE - катет прямоугольного треугольника СЕВ с гипотенузой СВ. Гипотенуза CВ - это длина одной стороны равностороннего треугольника ACB.
Высота (h) СЕ = CB × sin СВЕ = a × sin(60°) = √3/2 × a.
h = 1,73 ÷ 2 × 4 = 3,46.
S = 1/2 × a × h = 1/2 × 4 × 3,46 = 6,92 = 6,9.
Ответ: площадь треугольника равна 6,9 см2.
3) Высоту треугольника также можно вычислить по формуле, общей для всех треугольников:
h = 2/a √p×(p-c)×(p-b)×(p-b), ,
где, p – полупериметр треугольника.
Если периметр всех сторон равен 12 см, то полупериметр р = 12 ÷ 2 = 6.
Тогда находим высоту:
h = 2/4 √6 (6 - 4) × (6 - 4) × (6 - 4).
р = 1/2 √6 × 2 × 2 × 2 = 1/2 √48 = 1/2 × 6,93 = 3,47.
S = 1/2 × a × h = 1/2 × 4 × 3,47 = 2 × 3,47 = 6,94 = 6,9.
Ответ: площадь треугольника равна 6,9 см2.