Question

Как найти площадь равностороннего треугольника с периметром 12 сантиметров?

Чему равна площадь равностороннего треугольника с периметром 12 сантиметров?

Прошу подробное объяснение, чтобы школьник мог понять суть решения.

Answer 1

Есть формула, напрямую связывающая периметр любого треугольника и его площадь. То есть, достаточно знать периметр треугольника, а в случае равностороннего треугольника расчёт упрощается в разы. Формула Герона выглядит так:

Полупериметр равен 6, все три разности в скобках - 2. Получается корень квадратный из 48. А он равен 6,9280323028.

Примем площадь равной 6,9 квадратным сантиметрам.

И ни синусы, ни высота не нужны.

Точнее и проще, на мой взгляд.

Answer 2

Чтобы посчитать площадь равностороннего треугольника, периметр которого равен 12 см, найдем его стороны.

Стороны равны: 12 ÷ 3 = 4 см.

Рассчитаем площадь по формуле:

S = 1/2 × а × h, где а - сторона треугольника, h - высота.

1)

Все стороны одинаковой длины а = b = c.

Все углы в равностороннем треугольнике одинаковые по 60°: 180 ÷ 3 = 60°.

Площадь треугольника равна:

S = 1/2 × a × a × sin ∠ab = 1/2 × а^2 × sin 60° =

S = 1,73 × 16/4 = 1,73 × 4 = 6,92 = 6,9.

Ответ: площадь равностороннего треугольника периметром 12 см равна 6,9 см2.

2)

Найдем высоту равностороннего треугольника, зная длину одной стороны (4 см). Зная высоту, можно найти площадь треугольника по формуле:

S = 1/2 × а × h.

Медиана СЕ (гипотенуза, высота) делит равносторонний треугольник АСВ на два прямых с одинаковой площадью АЕС, СЕВ.

Высота СE - катет прямоугольного треугольника СЕВ с гипотенузой СВ. Гипотенуза CВ - это длина одной стороны равностороннего треугольника ACB.

Высота (h) СЕ = CB × sin СВЕ = a × sin(60°) = √3/2 × a.

h = 1,73 ÷ 2 × 4 = 3,46.

S = 1/2 × a × h = 1/2 × 4 × 3,46 = 6,92 = 6,9.

Ответ: площадь треугольника равна 6,9 см2.

3) Высоту треугольника также можно вычислить по формуле, общей для всех треугольников:

h = 2/a √p×(p-c)×(p-b)×(p-b), ,

где, p – полупериметр треугольника.

Если периметр всех сторон равен 12 см, то полупериметр р = 12 ÷ 2 = 6.

Тогда находим высоту:

h = 2/4 √6 (6 - 4) × (6 - 4) × (6 - 4).

р = 1/2 √6 × 2 × 2 × 2 = 1/2 √48 = 1/2 × 6,93 = 3,47.

S = 1/2 × a × h = 1/2 × 4 × 3,47 = 2 × 3,47 = 6,94 = 6,9.

Ответ: площадь треугольника равна 6,9 см2.

Answer 3

Если школьник ещё не изучал тригонометрию, то задачу можно решить пользуясь теоремой Пифагора. S = 1/2*а*h, где а - сторона треугольника. Все стороны одинаковой длины а=12/3=4. Высота делит сторону на 2 и по теореме Пифагора h^2=a^2-a^2/4=a^2*3/4, h=а*√3/2. S = 1/2*а*а*√3/2=а^2*√3/4=16*√3/4=4*√3=4*1,732...=6,928... квадратных сантиметров.

Answer 4

Для того, чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника по известному периметру данного треугольника, для начала нужно вычислить длину сторон, исходя из известного нам периметра.

Итак, периметр Р = 12 см, а так как треугольник у нас равносторонний, то для определения стороны треугольника мы наш периметр делим на три, а это а = b = c = Р / 3 = 12 / 4 = 4 см.

Теперь можно и перейти к вычислению самой площади равностороннего треугольника, используя формулу Герона, которая выглядит так :

Так как у нас уже известны и периметр и все стороны треугольника, подставляем наши данные в эту формулу и получаем ответ - 6.928 см.

Answer 5

Когда в треугольнике задан периметр . то сразу напрашивается формула Герона , хотя для равностороннего треугольника формула может быть проще.

1)Площадь по формуле Герона :

Сразу найдём полупериметр р = 12\2 = 6 .

Площадь треугольника S = √p*(p - a )*(p - b )*(p - c ) , где а , b , c - стороны треугольника , и в нашем случае a = b = c = p\3 = 12 \3 = 4 , тогда S = √ 6 * (6 - 4 ) * ( 6 - 4 ) * (6 - 4 ) = √ 6 * 2 * 2 * 2 = √48 = 4*√3 , ответ так и можно оставить.

2)учитывая , что сторона треугольника а = 12\3 = 4 Э а высота , опущенная на основание = √ (a^2 - (a/2)^2) = √ (a ^2 *√3 )/2 =a * √3/2 . тогда найдём площадь как полупроизведение основания на высоту :

S =a ^2 *√3 /2 *2 = 4*√3

Ответ: площадь равна 4 * √3

Answer 6

Что такое периметр все знают, это сумма длин всех сторон.

У треугольника 3 равносторонних стороны, значит 1 сторона будет равна 4 см.

Площадь треугольника находим по формуле.

Высота нам неизвестна, находим ее по формуле:

Высота равна 4*√3/2= 3,464 (см)

Теперь находим площадь треугольника:

1/2*4*3,464=6,928 (кв. см)

Можно округлить до 6,9 кв. см или 7 кв.см.

Ответ 6,928 квадратных см.