Разберем значение всех предложенных фразеологизмов:
Не покладая рук - так говорят про выполнение какой-либо работы, и означает он интенсивный труд, старательность, усердие, тщательность, но не обязательно быстроту.
До седьмого пота - и вновь значение этого фразеологизма говорит о тяжелой работе. Физический труд конечно полезен, но не до полного изнеможения.
Выбиться из сил - так говорят о том, кто потратил все силы на достижение какого-то результата, часто имеет отношение к работе физической, но может означать и любой другой труд
Сломя голову - конечно так говорят не про того, кто сломал свою голову, а про того, кто двигается быстро, быстро что-то делает, торопится.
Во все лопатки - обычно так убегают от чего страшного, в панике, это именно фразеологизм о скорости движения.
На всех парусах - раньше имел отношение к парусному флоту, сейчас используется и для описания скорости перемещения, выполнения работы.
Итак, синонимичными к словосочетанию Быстро бегать будут фразеологизмы под буквами Г, Д, Е.