Question

Решите уравнение sin⁴ 2x+ cos⁴ 2x=5/8 в ответе указать в градусах число корней на промежутке{0;180} градусов

Answer 1

Sin⁴2x+(1-sin²2x)²=sin⁴2x+1-2sin²2x+sin⁴2x=2sin⁴2x-2sin²2x+1
2sin⁴2x-2sin²2x+1=5/8
2sin⁴2x-2sin²2x+3/8=0
Пусть sin²2x=y
2у₂-2у+3/8=0
у²-у+3/16=0
D=1-4*3/16=1-3/4=1/4
y₁=(1-1/2)/2=1/4
y₂=(1+1/2)/2=3/4

sin²2x=1/4
sin2x=+-1/2
2x=+-π/6+πn, n∈Z
x=+-π/12+π*n/2
Т.к. sinx∈(0; π),

sin²2x=3/4
sin2x=+-√3/2
2x=+-π/3+π*n
x=+-π/6+πn/2

 15, 75, 105,  30,  60,  120, 150

Answer 2

Sin⁴2x+cos⁴2x=sin⁴2x+cos⁴2x+2cos²2xsin²2x-2cos²2xsin²2x=(sin²2x+cos²2x)²-2cos²2xsin²2x=1-2cos²2xsin²2x
1-2cos²2xsin²2x=5/8
2cos²2xsin²2x=1-5/8=3/8
(1-sin²2x)sin²2x=3/16
sin²2x-sin⁴2x=3/16
sin²2x=y
y²-y+3/16=0
16y²-16y+3=0
y=(8+-√(64-48))/16=(8+-4)/16
y=12/16=3/4 sin2x=√3/2  2x=60° x=30°и 2x=120°,x=60°
sin2x=-√3/2  2x=240°  x=120°
y=4/16=1/4    sin2x=0,5   2x=30°  x=15° и   2x=150°  x=75°
sin2x=-0,5   2x=210° x=105° И 2х=300 х=150

Ответы: 15°, 30°,  60°, 75°, 105°, 120°, 150°