Question

Постройте график уравнения $x^{2} - y^{4} = \sqrt{18x - x^{2} - 81}$, то есть изобразите на координатной плоскости ВСЕ точки, координаты (x;y) которых удовлетворяют этому уравнению

Answer 1

$x^2-y^4=\sqrt{18x-x^2-81} \\\ x^2-y^4=\sqrt{-(x^2-18x+81)} \\\ x^2-y^4=\sqrt{-(x^2-2\cdot9x+9^2)} \\\ x^2-y^4=\sqrt{-(x-9)^2}$

Квадрат любого числа неотрицателен, но и подкоренное выражение может быть только неотрицательным:
$-(x-9)^2 \geq 0 \\\ (x-9)^2 \leq 0$

Последнее выражение выполняется только когда левая часть равна нулю:
$(x-9)^2=0 \\\ x-9=0 \\\ x=9$

Значит все точки (если они есть) графика этого уравнения имеют абсциссу равную 9. Подставляем значение х=9 в исходное уравнение и находим у:
$9^2-y^{4}=\sqrt{-(9-9)^2} \\\ 81-y^{4}=0 \\\ y^4=81 \\\ y=\pm \sqrt[4]{81} \\\ y=\pm3$

Ответ: точки (9; -3) и (9; 3)