Question

Школьная олимпиада. В гостях у бабушки Женя и Лена ели мороженное (см.)?

Олимпиада кенгуру-2015. В гостях у бабушки Женя и Лена ели мороженое ежедневно: каждая по 2 или 3 стаканчика. Всего Женя съела 25 стаканчиков, а Лена - 19.

Сколько дней они гостили у бабушки?

Варианты ответов:

12 дней, 11, 10, 9 или 8?

Answer 1

Они ели мороженое в двух разных порциях: 2 стаканчика и 3 стаканчика.

А пробыли они у бабушки t дней.

Лена съела x раз по 2 стаканчика и (t-x) раз по 3 стаканчика.

Женя съела y раз по 2 стаканчика и (t-y) раз по 3 стаканчика.

Ясно, что x < t и y < t.

Система

{ 2x + 3(t - x) = 19

{ 2y + 3(t - y) = 25

Нам надо найти t.

{ 2x + 3t - 3x = 3t - x = 19

{ 2y + 3t - 3y = 3t - y = 25

Выразим x и y из обоих уравнений.

{ x = 3t - 19

{ y = 3t - 25

Подставляем данные значения t и проверяем. 8 сразу не подходит, потому что y = -1.

t = 9: x = 8, y = 2

t = 10: x = 11, y = 5, x > t - не подходит

t = 11 и t = 12 тем более не подходят.

Ответ: 9

Answer 2

Можно рассуждать от большего числа или от меньшего. Мне было удобнее от минимума. Поскольку каждый день девочки съедали минимум по два мороженого, а количество дней проведенных у бабашки одинаково для обеих, понятно, что по три мороженых чаще ела Женя. Лена съела 19 - число нечетное, значит и она хотя бы один день съела три мороженых. Проверим этот вариант 19-3 = 16. По два мороженых это 8 дней и один день - 3 мороженых. Итого получается 9 дней. смотрим как это согласуется с аппетитами Жени. 25 на 3 не делится, значит она тоже иногда ела по 2 мороженых. Ближайшее число кратное двум и делящееся на 3 - 21. Именно столько мороженых Женя съедала за 7 дней по 3 порции. Остается 2 дня по 2 мороженых. Итого тоже 9 дней. Итак, правильный вариант 9 дней.