Question

Как в данной задаче найти длину средней линии трапеции?

Answer 1

Начертите горизонтальную прямую линию и на ней отложите отрезок АВ, равный 16 см. Поставьте ножку циркуля в точку А и проведите дугу радиусом 8 см. Поставьте ножку циркуля в точку В и проведите дугу радиусом 10 см. Точку пересечения этих дуг обозначьте С. Треугольник АВС - предельный вариант Вашей трапеции АВСD, но точка D в этом предельном случае совпадает с точкой С, и длина верхнего основания равна нулю. Тогда минимальная средняя длина трапеции будет равна средней линии треугольника, т.е 8 см.

<hr />

Теперь проведите ряд горизонтальных прямых линий, параллельных линии, содержащей АВ. Последней такой линией будет касательная к дуге радиуса 8 см. Точки пересечения с дугой радиуса 8 см обозначьте С(1), С(2) и т.д., а точки пересечения с дугой радиуса 10 см, обозначьте D(1), D(2) и т.д. Для упрощения задачи будем рассматривать только внутренние, т.е. лежащие ближе друг к другу точки С(i) и D(i). Проведя линии АС1, АС2 и т.д. и ВD1, ВD2 и т.д. получим ряд трапеций АС(i)D(i)В, со всё большей длиной верхнего основания. Последняя трапеция будет иметь длину С(i)D(i) равную 10 см. Значит максимальная длина средней линии будет равна (10+16)/2=13 см. таким образом, получим бесконечное множество трапеций с длиной верхнего основания от 0 до 10 см, и соответственно длиной средней линии от 0 до 13 см. Выбирайте любую из них.

<hr />

Где Вы берёте такие неграмотно составленные задачи? Если это некое подобие сборника задач на сообразительность или логику, то ещё куда ни шло. Если же это обычный задачник, для школьников, то выкиньте его подальше и забудьте о нём, как о кошмарном сне.

Answer 2

Среднюю линию трапеции можно найти из следующего равенства:

S=m h,

где m - длина средней линии

h - высота трапеции

S- площадь трапеции..

m=S/h

Площадь можно найти как сумму двух прямоугольных треугольников и среднего прямоугольника (х, у- это части длинного основания, отсекаемые высотой с одной стороны и с другой):

S=ah+xh/2+yh/2=h(a+(x+y)/2)

Дополним ещё двумя равенствами по теореме Пифагора:

h^2=64-x^2

h^2=100-y^2

Также дополним ещё одним очевидным равенством:

16=х+у+а

Кроме того площадь трапеции можно определить через длины её сторон:

S^2=(((16+a)/(16-a))^2)(a+2)(a-14)(a-18)(34-a)

Итого имеем систему уравнений:

S=h(a+(x+y)/2)

h^2=64-x^2

h^2=100-y^2

16=x+y+a

S^2=(((16+a)/(16-a)^2)(a+2)(a-14)(a-18)(34-a)

Итак имеем систему из пяти независимых линейных уравнений, неизвестных (x, y, a, S, h) тоже пять..

Решая эту систему найдём высоту h и площадь S..

И тогда длина средней линии будет:

m=S/h..

Answer 3

Rafail доказал что данная задача имеет множество решений от 0 до 13 см. Но если дополнить задачу условием, что ответ должен быть целым числом, то задача будет иметь только один ответ. Предлагаю желающим найти его.