Question

Как найти отношение площадей в трапеции?

Дана трапеция ABCD. Точка N - середина боковой стороны BC. Точка M делит большое основание AB так, что MB = 2*AM.

Проводим два отрезка - DM и AN, они пересекаются в точке P.

Нужно найти отношение площадей S(APM) : S(ANB).

Должно получиться простое отношение, без всяких корней, логарифмов и прочих фокусов высшей алгебры.

И да, это задача - школьная, из профильного ЕГЭ, поэтому институтские методы решения тоже запрещены.

Answer 1

Сначала вариант, предложенный FEBUSoм.

Обозначим высоту трапеции h.

Тогда площадь трапеции равна (1/2)*(3+4)*h=3,5*h.

Высота треугольника АМD (проведённавя из точки М к основанию АD) равна h/2.

Площадь треугольника АМD (1/2)*4*(h/2)=h.

Площадь треугольника ECD (1/2)*(4/2)*h=h.

Если из площадей этих треугольников вычесть площадь треугольника ОЕD, то площади остатков (четырёхугольника АМОЕ и треугольника СОD) будут равны.

Продолжим отрезок DM за точку М и верхнее основание ВС за точку В. Точку пересечения продолжений обозначим К.

Очевидно, что треугольники AMD и MBK - равны. КС=3+4=7.

Очевидно, что треугольники КОС и ОЕD подобны, коэффициент подобия равен 7:2. Значит высоты треугольников КСО и ЕОD, проведённые из точки О к основаниям трапеции, также относятся как 7:2.

Высота треугольника ОЕD (проведённавя из точки О к основанию ED) равна (2/(2+7))*h=(2/9)*h.

Площадь четырёхугольника АМОЕ равна h-(2/9)*h=(7/9)*h, что составляет от площади трапеции (7/9)*h/(3,5*h)=2/9.

<hr />

Задача, в редакции Mefody66 совершенно аналогична и решается точно так же. Только он при записи задачи пропустил важнейшее условие, а именно длину верхнего основания, поэтому задача не могла быть решена. Кстати, если бы была указана длина верхнего основания (CD) то не было бы необходимости в том, чтобы трапеция была равнобочной.

Допустим, что верхнее основание составляет некую долю k (k<1)от нижнего основания.

Пусть нижнее основание равно х, тогда верхнее равно kx. Обозначим высоту трапеции h.

Продлим отрезок АN за точку N и отрезок DC за точку С. В пересечении этих продолжений поставим точку К. Далее полная аналогия. Треугольники NKC и АВN равны, КС=АВ=х. Тогда KD=х+kx=(k+1)*x.

Треугольники KDP и APM подобны, коэффициент подобия равен (k+1)*x/(х/3)=3*(k+1).

Высота треугольника АРМ равна (1/(3*(k+1)+1))*h=h/(3*k+4), а площадь (1/2)*(х/3)*h/(3*k+4)=х*h/(18k+24).

Высота треугольника ANB равна h/2, а площадь (1/2)*х*(h/2)=х*h/4.

Отношение площадей S(APM) : S(ANB) равно (х*h/(18k+24))/(х*h/4)=1/(4,5*k+6).

Answer 2

Задача имеет бесконечное множество решений. В зависимости от расстояния точки D от точки C площадь треугольника APM будет изменяться, а S(ANB) - оставаться неизменной. Искомое соотношение будет тем больше, чем ближе точка D к точке C.

Answer 3

Вопрос вы задаете "как найти отношение площадей в трапеции" , а в условии пишите - площадь APM и площадь ANB, т.е. ищите площадь треугольников? И уже отношение площадей треугольника сравниваете?

Жаль нет рисунка.

Если я правильно поняла задачу, то:

эти два треугольника подобны по первому признаку подобия ( два угла одного треугольника, равны двум углам другого треугольника);

отсюда - соотношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия;

По условию задачи MB = 2*AM, т.е. отрезок АМ = 1 часть, а отрезок МВ = 2 части , а АВ =3 части, то коэффициент подобия равен 3. А отношение площадей S(APM) : S(ANB) = 3 в квадрате, т.е. 9. или как один к девяти.