Считать квадрат частным случаем трапеции нельзя по определению:
Поскольку у квадрата противоположные стороны попарно-параллельны, то эта фигура не подходит под определение трапеции, у которой только две стороны параллельны, а две другие - нет. Эта не параллельность боковых сторон для трапеции является обязательной!
Также трапецию нельзя считать ни частным случаем ромба, ни параллелограмма, ни прямоугольника.
Чертим произвольную трапецию АВСD (AD - нижнее основание, ВС - верхнее). Продолжи нижнее основание за точку D и отложим отрезок DE, равный ВС. Соединим точки С и Е. Треугольник АСЕ равновелик исходной трапеции. Значит площадь трапеции равна площади треугольника. Легко убедиться также что средняя линия треугольника АСЕ равна средней линии трапеции АВСD, т.е. 6 см. Значит основание треугольника равно 12. Этого уже достаточно, чтобы определить площадь по формуле Герона, и она равна 54. Но, в этой задаче есть "закавыка", вернее даже две. Во-первых, стороны треугольника (9, 12, 15) образуют "египетский" треугольник, откуда следует что меньшая диагональ трапеции перпендикулярна основанию трапеции, т.е. трапеция имеет нестандартный вид, так как угол ВАD оказывается тупым. Вторая "закавыка" заключается в том, что результат не зависит (в определённых пределах) от длин оснований. Положение точки D не закреплено, и она может находиться "правее" точки А на любом расстоянии в пределах от 0 до 12. При крайних положениях трапеция вырождается в треугольник. При расстоянии, равном 6 трапеция вырождается в параллелограмм, в остальных случаях получается набор нестандартных трапеций, причем при переходе через параллелограмм длины оснований обращаются, т.е. ВС становится длиннее, чем АD.
Этот вопрос рассматривался в одной книге Мартина Гарднера.
Я не могу воспроизвести правильный ответ, как эти кубы расположены, но помню, что их всего 25=1 центральный + 24 вокруг.
Там весь фокус в том, что рекордсмен сумел прислонить 8 кубиков к одной грани. И еще 8 к противоположной. Это уже 16.
И остаются 4 свободных грани, к которым он умудрился прислонить еще 8 кубиков.
Без рисунка объяснить решение задачи будет трудновато, поэтому предлагаю следующую интерпретацию задачи.
По условию задачи трапеция АВСD прямоугольная, откуда следует, что высота СH равна 2*r, ВС=2*r, а АD = 20-2*r. HD=AD-BC = 20-4*r. Рассмотрим треугольник CDH, нам нужно определить угол CDH этого прямоугольного треугольника. Найдем тангенс этого угла tgCDH = CH/HD. Подставляем указанное значение радиуса 4,2 см и получим tgCDH = 8,4/3,2 = 2,625. Этому значению тангенса соответствует значение угла CDH равное примерно 69 градусам.
Чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон Е и Г трапеции АВСД, параллелен основаниям трапеции проведём через эти середины перпендикуляры, которые пересекут большее основание (нижнее левое) соответственно в точках К и Л, а меньшее (верхнее правое) в точках М и Н. С левой стороны получим два равных прямоугольных треугольника ЕКА и ЕМВ как имеющие равные стороны АЕ и ВЕ и равные углы, следовательно отрезки ЕК и ЕМ равны. Аналогично с правой стороны ГЛ=ГН. КМНЛ является прямоугольником в котором стороны МК и НЛ разделены пополам в точках Е и Г следовательно КЕ=ЛГ и ЕГ параллельна основаниям АД и ВС.
