Question

Даю 34 Балла!!!



Высота правильной треугольной пирамиды равна 14 см, а двугранный угол при основании равен 30°. Вычисли объём пирамиды.

Answer 1

$SABC-$ правильная треугольная пирамида
$H=SO=14$ см
$\ \textless \ SKO=30к$
$V_{n}-$ ?

Пирамида правильная, если в её основании лежит правильный многоугольник, а высота проходит  через его центр.

1)
Δ $ABC-$ равносторонний 
$SO$ ⊥ $(ABC)$
$V_{n} = \frac{1}{3} S_{ocn}*H$
$S_{ocn}= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$
2)
$OK$ ⊥ $BC$
$AK$ ⊥ $BC$    ⇒  $\ \textless \ SKA-$ линейный угол двугранного угла
$\ \textless \ SKA=30к$
3)
$SO$ ⊥ $(ABC)$
Δ $SOK-$ прямоугольный
$\frac{OK}{SO}=ctg 30к$
$OK=SO*ctg30к=14 \sqrt{3}$ см
4)
$AO:OK=2:1$ ( медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести, и делятся в 
 этой точке в отношении 2:1 (считая от вершины) )
$AK=3OK=3*14 \sqrt{3} =42 \sqrt{3}$ см
5)
$OK=r$
$r= \frac{a \sqrt{3} }{6}$
$\frac{a \sqrt{3} }{6} =14 \sqrt{3}$
$\frac{a}{6} =14$
$a=84$ см
$AB=a$
6) 
$S_{ocn}= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}= \frac{84^2 \sqrt{3} }{4}=1764 \sqrt{3}$ см²

$V_{n}= \frac{1}{3}*1764 \sqrt{3} *14=8232 \sqrt{3}$ см³ 

Ответ: $8232 \sqrt{3}$ см³