Question

Докажите неравенство:10x^2-6xy+y^2-4x+6>0

Answer 1

$10x^2-6xy+y^2-4x+6>0\\x^2+(9x^2-6xy+y^2)-4x+6>0\\(3x-y)^2+(x^2-4x+6)>0$

Первое слагаемое - квадрат разности - неотрицательное

$(3x-y)^2\geq 0;~~~x\in \mathbb R$

Второе слагаемое - квадратный трёхчлен - положительное, так как коэффициент при старшей степени 1>0 и дискриминант отрицательный

$x^2-4x+6=0;~~~~~a=1>0\\D=16-4\cdot 6=-8<0$

$~~~~~~~~~(3x-y)^2\geq 0\\+\\~~~~~~~~x^2-4x+6>0\\\overline {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\\(3x-y)^2+(x^2-4x+6)>0}\\\\\blacksquare$