Question

Воспользуйтесь методом замены переменных и решите систему уравнений $\displaystyle \left \{ {{(x+y)^{2}-6(x+y) +5=0} \atop {x+xy+y=9}} \right.$

Answer 1

Ответ:    x = 1, y = 4    и     x = 4, y = 1.

Решение:

Вначале заменим скобку (x + y) на букву t и подставим ее в первое уравнение (t₁ и t₂ нашли по теореме Виета):

$\displaystyle (x+y)^2-6(x+y)+5=0;\;\;\;\; x+y=t;\\t^2-6t+5=0\\t_1=5\\t_2=1$

Теперь есть два случая. Разберем каждый из них по отдельности.

1.  x + y = 5.

$\displaystyle \left \{ {{x+y=5} \atop {x+xy+y=9}} \right. \\\\\left \{ {{x+y=5} \atop {9-(x+y)=xy}} \right.\\\\\left \{ {{x+y=5} \atop {9-5=xy}} \right. \\\\\left \{ {{x+y=5} \atop {xy=4}} \right.$

Делаем подстановку:

$x(5-x)=4\\-x^2+5x-4=0\\x^2-5x+4=0\\x_1=1;\;\;\;y_1=4\\x_2=4;\;\;\;y_2=1$

Уже имеем две пары решений: (1;4) и (4;1).

2.  x + y = 1.

$\displaystyle \left \{ {{x+y=1} \atop {x+xy+y=9}} \right. \\\\\left \{ {{x+y=1} \atop {9-(x+y)=xy}} \right.\\\\\left \{ {{x+y=1} \atop {9-1=xy}} \right. \\\\\left \{ {{x+y=1} \atop {xy=8}} \right.$

Опять решаем методом подстановки:

$x(1-x)=8\\-x^2+x-8=0\\x^2-x+8=0\\D=(-1)^2-4*1*8=1-32=-31<0.$

В данном случае, корней нет.  

Answer 2

Ответ:

(1; 4) и (4; 1)

Объяснение: