Question

Дан треугольник ABC. известно, что AC=10, BC=12. угол CAB= 2угла CBA. найдите длину стороны AB

Answer 1

Пусть ∠В=х, ∠А=2х.
По теореме синусов АС/sinx=BC/sin2x.
10/sinx=12/(2sinx·cosx),
20cosx=12,
cosx=3/5.
sin²x=1-cos²x=1-9/25=16/25,
sinx=4/5.
Проведём высоту СК⊥АВ.
В прямоугольном тр-ке ВСК ВК=ВС·cosx=12·3/5=36/5.
В прямоугольном тр-ке АСК АК=АС·cos2x.
cos2x=cos²x-sin²x=9/25-16/25=-7/25. Косинус угла отрицательное число, значит ∠А>90°, то есть тр-ник АВС тупоугольный.
АК=АС·cos2x=10·(-7/25)=-70/25.
АВ=АК+ВК=-70/25+36/5=(-70+180)/25=110/25=22/5=4.4 - это ответ.