1) Если диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоско-ной основания угол 45 градусов,, то она как гипотенуза образует прямоугольный треугольник.
Высота призмы и диагональ основания равны между собой (из за угла 45°) и, как катеты, равны 8*sin 45° = 8*(√2/2) = 4√2 см.
Они же являются сторонами в данном случае квадрата диагонального сечения призмы. S = (4√2)² = 32 см².
2) По аналогии с пунктом 1) диагональ основания d и высота Н параллелепипеда равны 6*(√2/2) = 3√2 см.
Стороны основания равны:
- меньшая: d*cos 60° = 3√2*(1/2) = 3√2/2,
- большая: d*sin 60° = 3√2*(√3/2) = 3√6/2.
Периметр основания равен:
Р = 2*3√2/2 + 2*3√6/2 = 2*3√2/2 + 2*3√2√3/2 =(6√2/2)(1 + √3).
Площадь боковой поверхности равна:
Sбок = РН = (6√2/2)(1 + √3)*(3√2) = 18(1 + √3) см².
Треугольники EFT и EDC - подобны, коэффициент подобия = 1/3.
tg(BAC)=BC/AC =4/3
△ABC - египетский треугольник (стороны относятся как 3:4:5)
Высота из прямого угла делит треугольник на подобные друг другу и исходному.
△ABC~△BCP
, AB/BC=5/4
Отношение соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
R_abc/R_bcp =AB/BC => R_abc= 8*5/4 =10
В треугольнике CDB катет в два раза меньше гипотенузы. Это значит, что ∠ABC = 30°.
Из суммы углов треугольника легко показать, что треугольники ADC, CDB и ACB подобны.
Тогда AC = 2AD (в треугольнике ADC, AD - катет, лежащий напротив угла в 30°). Тогда AB = 2AC = 4AD (в треугольнике ACB, AB - катет, лежащий напротив угла в 30°).
DB = AB - AD = 4AD - AD = 3AD
Что и требовалось доказать