<span>Периметр треугольника равен 24. Докажите что расстояние от любой точки плоскости, до <u>хотя бы одной из его вершин</u> больше 4
</span>
Решение может быть основано на <u>одном из основных свойств треугольника:</u>
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; и так же - для каждой стороны любого треугольника.
Сумма двух сторон данного треугольника периметра 24<u> не может быть меньше 12,11111</u>, иначе треугольник не получится.
Поэтому расстояние от любой точки плоскости - <u>независимо от того, вне или внутри треугольника точка</u>- до хотя бы одной из вершин этого треугольника будет больше половины длины большей его стороны, т.е. больше 4.
<u>Другой способ доказательства.</u>
Рассмотрим случаи, когда эта точка равноудалена от каждой из вершин, т.е. находится в центре описанной окружности.
Тогда при ее смещении расстояние от нее до хотя бы одной из вершин треугольника будет больше радиуса описанной окружности.
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
<u>Случай1</u> - равносторонний треугольник АВС.
Р=24,
а=24:3=8.
Возьмем для рассмотрения точку Е - центр описанной окружности вокруг треугольника АВС.
Расстояние от нее до каждой из вершин является одинаковым.
Высота ( медиана, биссектриса ) равна
h=a*sin(60)
R=ВЕ=СЕ=СА=h:3*2=2*{(8√3)
:2}
:3=4,6188,
т.е. больше 4.
Естественно предположить, что любая другая точка, расположенная внутри АВС, (М, Р, К) будет
<em>хотя бы от одной из вершин </em>расположена на расстоянии большем, чем R.
Очевидно, что в случае, когда данная точка находится<em><u> вне плоскости </u></em>треугольника, она тем более будет находиться на расстоянии, большем, чем радиус описанной окружности, т.е. большем, чем 4.
Случай 2 - произвольный треугольник АВС.
Пусть длина его сторон 9, 8 и 7. Центр описанной вокру него окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров.
R=abc
:4S
Площадь данного треугольника, найденная по формуле Герона, равна приблизительно 26, 833
R=
≈4,695, и это больше, чем 4.
Изменение места расположения точки Е приводит к тому, что расстояние до какой-либо из вершин будет больше R, и, естественно, больше 4.
Для прямоугольного треугольника равное расстояние до вершин будет R=5
Соответственно, если точка Е будет расположена в другом месте плоскости, то и расстояние от нее до<em>
хотя бы одной из вершин </em>будет больше.
<u>Ответ:</u>
Расстояние от <em>
любой</em> точки плоскости <em>
до хотя бы одной</em> из его вершин треугольника с периметром 24 больше 4, что и требовалось доказать.
[email protected] 
