Question

В четырёхугольнике АВСД стороны ВС и СД равны, а стороны АВ и АД не равны. Диагональ АС, равная 8 см, является биссектрисой угла ВАД, равного 45. Найдите АВ+АД

Answer 1

$BC^{2} = a^{2} +8 ^{2} -2*a*8*cos \alpha \\ CD^{2} =b ^{2} +8 ^{2} -2*b*8*cos \alpha \\ BC^{2}=CD^{2} \\ a^{2}-16acos \alpha =b^{2} -16bcos \alpha \\ a^{2}-b^{2}=16acos \alpha -16bcos \alpha \\ (a-b)(a+b)=16(a-b)cos \alpha a+b=16cos(45/2)=16cos( \pi /8)$т.к АС- биссектриса, то сделаем для простоты
АВ=а
АД=в
угол ВАС=углу САД=$\alpha$
по теореме косинусов из треуг. ВАС и САД

Answer 2

Если построить окружность с центром в C и радиусом R = CB = CD; то - поскольку стороны угла BAD симметричны относительно AC, эта окружность пересечет прямые AD и AB в двух точках КАЖДУЮ. Пусть это точки B и D1 - на AB, и В1 и D - на AD; Ясно, что AB = AB1 и AD = AD1; пусть для определенности AD > AB;
Если теперь провести перпендикуляр из C на AD, то он попадет точно в середину хорды B1D; (пусть это точка M).
Легко видеть, что AD + AB1 = 2*AM; (ну, AD = AM + MD; AB1 = AM - MB1 = AM - MD;...)
Треугольник CMA - прямоугольный, гипотенуза AC = 8; ∠CAM = 45°/2;
AM = AC*cos(45°/2) = 8√(2 + √2)/2;
AB + AD = 8√(2 + √2);

вычислять косинус 22,5° я тут не буду - вы легко справитесь,
2*(cos(22,5°))^2  - 1 = cos(45°);