Уравнение пряммой будем искать в виде:
A(-3;-3), B(3;5)
либо
- искомое уравнение пряммой
GA + GB + GC = 0; (1)
если G - точка пересечения медиан. На самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как
GA + GB = 2*GM = - GC;
где M - середина AB
Тогда
3*PG = PA + PB + PC; (2)
для любой точки P - это сразу видно, если подставить
PA = PG + GA; PB = PG + GA; PC = PG + GC;
Из (1) после возведения в квадрат
0 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2(GA*GB +GA*GB + GB*GC); (3)
а из (2)
9*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2(PA*PB + PA*PC + PB*PC) =
PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2((PG + GA)*(PG + GB) + (PG + GA)*(PG + GC) + (PG + GB)*(PG + GC)) = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 6*PG^2 + 4*PG*(GA + GB + GC) + 2(GA*GB + GA*GC + GB*GC);
если учесть (1) и (3), получается
3*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 - (GA^2 + GB^2 + GC^2)
Везде жирным шрифтом обозначены вектора, а PA*PB означает в этих случаях скалярное произведение.
ЧТД
1 задание
80мм- гипотенуза
50мм- катет
5см-катет
8см- гипотенуза Они равны по катету и прилежащему острому углу
Пусть МО - перпендикуляр к плоскости ромба.
В ромбе проведем ОК, ОН, ОР и ОТ - перпендикуляры к соответствующим сторонам ромба. Эти отрезки - проекции наклонных МК, МН, МР и МТ на плоскость ромба. По теореме о трех перпендикулярах наклонные так же перпендикулярны сторонам ромба.
Расстояние от точки М до стороны ромба - длина перпендикуляра, проведенного из точки М к стороне.
Значит МК = МН = МР = МТ = 8 см - расстояния от точки М до сторон ромба.
На рисунке красные треугольники равны по гипотенузе и катету (МК = МН = МР = МТ по условию, МО - общий катет) , значит
ОН = ОК = ОР = ОТ , тогда точка О - центр окружности, вписанной в ромб, значит О совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам:
АО = АС/2 = 8 см
ВО = BD/2 = 6 см
ΔАОВ: по теореме Пифагора АВ = √(АО² + ВО²) = √(64 + 36) = 10 см
Saob = 1/2 · AO · BO = 1/2 · AB · OK
8 · 6 = 10 · OK
OK = 8 · 6 / 10 = 4,8 см
ΔМОК: по теореме Пифагора
МО = √(МК² - ОК²) = √(64 - 23,04) = √40,96 = 6,4 см
Больше баллов давай, а то куча задач, А вознаграждение нулевое