<em>Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8 см, MN=12 см. </em>
<u>Вычислите: </u>
а) расстояние от точки D до прямой NP.
б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата.
в )расстояние между прямыми OD и MN
Решение начинаем с рисунка.
<span><span><em>Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.</em></span> </span>
а) Расстояние от т.D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.
По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH⊥NP⇒
ОН=КN=MN:2=6 см
Из отношения катетов ОН:OD=3:4 ⊿ DOH - египетский и его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. ( можно проверить по т.Пифагора).
б) Расстояния от D до сторон основания равны, и расстояния от D до вершин квадрата равны, т.к. DO проецируется в центр основания, и О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см
<em>∆ MDN- <u>равнобедренный</u></em>, его высота DK=DH=10 см
S ∆ MDN=DK•KN=10•6=60 см²
Проекция ∆ MDN на плоскость основания - это прямоугольный ∆ MON. Сторона МN - общая, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей. MN=12, высота ОК=6
S (<span>⊿</span>=OK•MN:2=36 см²
в) <em>DO и MN- </em>лежат в разных плоскостях и не пересекаются<em>. Они - скрещивающиеся прямые</em>; расстояние между ними определяется общим <em>перпендикуляром ОК</em>, а так как он равен половине стороны квадрата, то это расстояние равно 6 см.