Ребра, скрещивающиеся в ребром AD:
А₁В₁, ВВ₁, СС₁, C₁D₁
Всего 4.
1) AC1+DA1+B1B+BA =?
а) BA+AC1=BC1.
б) B1B+DA1=D1D+DA1=D1A1.
(так как векторы равны: В1В=D1D)
BC1+D1A1= BC1+C1B1= BB1.
Ответ: AC1+DA1+B1B+BA =ВВ1.
2) Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
ВА-В1С1 = ВА-ВС=СА.
(так как В1С1=ВС).
Ответ: ВА-В1С=СА.
Используем теорему косинусов
Докажем методом от противного.
Предположим, что прямые АС и BD не скрещиваются, тогда они могут быть параллельны или могут пересекаться. Но если прямые параллельны или пересекаются, то в том и другом случае они лежат в одной плоскости. Тогда все четыре точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, получается прямые АВ и СD лежат в одной плоскости, но этого не может быть, так как по условию они скрещиваются, а скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Пришли к противоречию, следовательно, предположение о том, что АС и BD параллельны или пересекаются неверно, и данные прямые скрещиваются.
Треугольники DBE и BDC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников):
- BD - общая сторона;
- ВЕ=CD по условию;
<span>- углы DBE и BDC равны как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных по условию прямых ВЕ и CD секущей BD.</span>