Треугольники АСА1 и ВСВ1 подобны: ∟АСА1=∟ВСВ1 (вертикальные), ∟САА1=90-∟ACA1=90-∟BCB1=∟CBB1
Составим отношения сторон: AA1/BB1=AC/BA=A1C/B1C
Преобразуем CB/CB1=AC/A1C
Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C: они подобны по первому признаку подобия.
∟ACB=∟A1CB1 (вертикальные), стороны пропорциональны CB/CB1=AC/A1C
Значит ∟AB1A1=∟ABC и ∟BA1B1=∟BAC.
Что и требовалось доказать.
1) x - y = 8; log₃x + log₃y = 2
x - y = 8; log₃xy = log₃9
x - y = 8; xy = 9 ⇒ x = 8 + y; y(8 + y) - 9 = 0; y² + 8y - 9 = 0; по теореме Виета: y₁y₂ = - 9; y₁ + y₂ = - 8; ⇒ y₁ = - 9; y₂ = 1 ⇒
x₁ = 8 - 9 = - 1 x₂ = 8 + 1 = 9 ⇒ ( - 1; - 9) - посторонний; (9; 1)
ОДЗ: x > 0; y > 0
Ответ: (9; 1)
2) x - y = 1; - log₂x - log₂y = - 5 ⇒ ОДЗ: x > 0; y > 0 ⇒ x - y = 1; log₂x + log₂y = 5 ⇒
x = y + 1; xy = 32; y(y + 1) = 32 ⇒ y² + y - 32 = 0; D = 129; y = ( - 1 + √129) : 2;
y = ( - 1 - √129) : 2 - посторонний; x = ( - 1 + √129) : 2 + 1
Ответ:( ( ( - 1 + √129) : 2 + 1); ( ( - 1 - √129) : 2))
3) log₄x - log₄y = 1; x + y = 20; log₄x/y = log₄4; x = 20 - y; ОДЗ: x > 0; y > 0;
x/y = 4; (20 - y)/y = 4 ⇒ 20 - y - 4y = 0; y ≠ 0; 5y = 20; y = 4 ⇒
x = 20 - 4 = 16 Ответ: (16; 4)
4) lgx - lgy = 0; 2x - y = 10 ⇒ x > 0; y > 0 ⇒ lgx/y = lg10⁰; - y = 10 - 2x;
y = 2x - 10 ⇒ x/y = 1; x/(2x - 10) = 1; 2x ≠ 10; x ≠ 5 ⇒ x - 2x = - 10; x = 10 ⇒
y = 2 · 10 - 10 = 10 ⇒ Ответ: (10; 10)
