Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим острым углом f. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом ß. Найти объём пирамиды.

Answer 1

Если все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию пирамиды, все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. основанием высоты (SO) пирамиды явялется середина гипотенузы (AC) основания пирамиды. 
В прямоугольном треугольнике ABC:
Катет AB = a
∠ABC = 90°
∠ACB = f
Тангенсом ∠ACB явялется отношение противолежащего ему катета AB к прилежащему катету BC.

tg(ACB) = AB / BC
BC = AB / tg(ACB)
BC = a / tg(f)

Площадь основания пирамиды SABC:
Sосн = 1/2 * AB * AC
Sосн = 1/2 * a * a / tg(f) = a² / (2tg(f))

Синусом ∠ACB является отношение противолежащего ему катета AB к гипотенузе AC
sin(ACB) = AB / AC
AC = AB / sin(ACB)
AC = a / sin(f)

CO = AC / 2                    a
CO = 1/2 * a/sin(f) = --------------
                                      2sin(f)

В прямоугольном треугольнике SOC:
Катет CO = a / (2sin(f))
∠SCO = β
SO = H пирамиды
Тангенсом ∠SCO является отношение противолежащего ему катета SO к прилежащему катету CO

tg(SCO) = SO / CO
SO = CO * tg(SCO)
SO = CO * tg β
                                            a * tg β
SO = a / (2sin(f)) * tg β = -------------------
                                            2sin(f)
Объем пирамиды
V = 1/3 * Sосн * H

          1               a²                 a * tg β           a³ * tg β
V = --------- * ---------------- * --------------- = ----------------------------
          3               2tg(f)            2sin(f)           12 * tg(f) * sin(f)