Question

В треугольнике длины двух сторон равны 4 и 5, а длина биссектрисы угла между ними равна 20/9. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Пусть длины двух отрезков противоположной стороны - 5x и 4x
Угол, который делит биссектриса - β.
Тогда по теореме косинусов для двух дочерних треугольников
(5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2)
(4x)² = 4² + (20/9)² - 2*4*20/9*cos(β/2)
----
Умножим первое уравнение на 4, второе на 5
4*(5x)² = 4*5² + 4*(20/9)² - 2*4*5*20/9*cos(β/2)
5*(4x)² = 5*4² + 5*(20/9)² - 2*4*5*20/9*cos(β/2)
---
Вычтем из первого второе
4*(5x)² - 5*(4x)² = 4*5² + 4*(20/9)² - 5*4² - 5*(20/9)²
4*25x² - 5*16x² = 4*25 - 5*16 - 400/81
100x² - 80x² = 100 - 80 - 400/81
20x² = 20 - 400/81
сократим на 20
x² = 1 - 20/81 = (81 - 20)/81 = 61/81
x = √61/9 (отрицательный корень отбросили)
---
Теперь вычислим угол
(5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2)
25*61/81 = 25 + 400/81 - 200/9*cos(β/2)
Умножим всё на 81
25*61 = 25*81 + 400 - 9*200*cos(β/2)
1800*cos(β/2) = 400 + 25*(81 - 61)
1800*cos(β/2) = 400 + 25*20 
1800*cos(β/2) = 900
cos(β/2) = 1/2
β/2 = arccos(1/2) = 60°
β = 120°
Площадь
S = 1/2*4*5*sin(β) = 10*sin(120°) = 5√3