..........................................
Можно заметить что ab^2+ad^2=bd^2 и bc^2+cd^2=bd^2 Значит bad и bcd прямоугольные и сумма углов bad+bcd=180 градусов, т.е. abcd вписан
Примем все рёбра заданного тетраэдра равными 1.
Задачу можно решить двумя способами: векторным и геометрическим.
1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу.
Находим координаты необходимых точек.
С((√3/2; (1/2); 0) Д((√3/6); (1/2); √(2/3)).
М((√3/12); (1/4); (√6/6)) К((√3/4); (3/4); 0).
Определяем координаты векторов.
СД((-√3/3); 0; <span>√(2/3)), модуль равен </span>√((3/9)+0+(2/3) = 1.<span>
МК((</span>√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2).
cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-<span>√6/6))/(1*</span>√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) =
= -√2/2.
Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.
2) Проверяем геометрическим способом.
Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды.
Они равны по 1*cos30 = √3/2.
МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.
Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д.
Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2.
Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2.
Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1.
Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1.
Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами.
Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.
180-48*2=84 градуса Т.К. сумма углов треугольника равна 180 градусам, а углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
ВД1=(по т.Пифагора10^2-6^2)=8
ДД1=(15^2+8^2)=корень из 289=17
