Question

В равнобокой трапеции длина боковой стороны 2d , длины оснований 5d и 7d. Найдите углы трапеции.

В параллелограмме ABCD известно, что угол A=60 градусам, AB = 10, AD =16.Найдите расстояния от вершин B и D до биссектрисы угла BCD.

В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD.Найдите углы ромба.

Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите угол AMB.

Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке M и продолжение стороны AB за точку A в точке N.Найдите периметр параллелограмма, если AN=4, DM=3.

ВСЕ ЗАДАНИЯ РЕШЕТЬ НЕ ЧЕРЕЗ СИНУСЫ И КОСИНУСЫ!!!

Answer 1

1  В равнобокой трапеции ABCD: AB=CD= 2d, BC= 5d, AD= 7d. 
Проведем СК параллельно АВ, тогда АК=ВС=5, АВ=СК=2d, ΔCKD равносторонний CK=CD=KD=2d,  уголD=60°, угол А=углуD=60°, угол В=углуС=180°-60°=120°.
2  В параллелограмме биссектриса СР угла BCD образует равнобедренный треугольник PCD ($\angle1= \angle2=30к; \angle1= \angle3; \Rightarrow \angle2= \angle3=30к;$) $DH \perp CP$, $DH= \frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}*10=5$ как катет лежащий против угла 30 в треугольнике CHD.  
$BM \perp CP$, $BM= \frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}*16=8$ как катет лежащий против угла 30 в треугольнике BMC. 
3  В ромбе ABCD биссектриса CH угла DCA образует два равных прямоугольных треугольника ACH и DCH, при этом $\angle4= \angle3;\angle1: \angle3=1:2;$
$\angle1=30к;\angle3=60к;$ Тогда в ромбе $\angle A =\angle C=120к; \angle B =\angle D=60к;$
4  треугольник AMD равносторонний, $\angle MAD=60к;$, тогда 
$\angle MAB=30к;$ Треугольник BAM равнобедренный, АВ=АМ, тогда $\angle AMB= \frac{1}{2}(180-30)=75к;$
5  $\angle1= \angle2=; \angle1= \angle3; \Rightarrow \angle2= \angle3$, треугольник MCD равнобедренный, MD=CD=3,  $\angle3=\angle4$,  $\angle2=\angle5$, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD, треугольник NAM равнобедренный, AM=AN=4.
Тогда ВС=AD=7, АВ=CD=3, периметр $P=2*(7+3)=20$.