У нас есть три прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора для синего
a² = h² + 9² (*)
Теорема Пифагора для красного
b² = h² + 16² (**)
Теорема Пифагора для большого
a² + b² = (16+9)² (***)
Вычтем из второго первое
b² - a² = 16² - 9²
И результат сложим с третьим
2b² = 16² - 9² + 25²
2b² = 256 - 81 + 625
2b² = 800
b² = 400
b = 20 см
Из третьего
a² + b² = 25²
a² + 20² = 25²
a² = 625 - 400
a² = 225
a = 15 см
Сумма односторонних углов =180
/а+б=180
\а-б=48
а=48+б
48+б+б=180
2б=132
б=66
а=66+48=180-66=114
А = 30, В = 90, С = 60
Треугольник АВД равнобедренный, значит угол АВД = угол ВАД = 30
угол АДВ = 180 - 2*30 = 120
Углы АДВ и ВДС - смежные и их сумма равна 180, значит угол ВДС = 180 - 120 = 60
Треугольник ВДС - тоже равнобедренные и поэтому углы ДВС и ВСД равны и находим их как (180 - 60) : 2 = 60
И так
угол ВАД = 30
угол ВСД = 60
угол АВС = ДВС+АВД = 60+30 = 90
Построение. Проведем высоту основания ВН. В правильном треугольнике это и медиана и биссектриса. Через центр основания J проведем прямую, параллельную стороне АС. Получим точки K и L на пересечении этой прямой с сторонами АВ и ВС соответственно. Через центр сферы О проведем прямую, параллельную стороне АС. Восстановим перпендикуляры из точек К и L и на пересечении этих перпендикуляров с проведенной прямой получим на боковых гранях призмы точки M и N. Проведя через точки А и N, С и М получим линии пересечения секущей плоскости и боковых граней призмы. Сечение призмы - равнобедренная трапеция.
Центр основания призмы J делит высоту основания в отношении 2:1, считая от вершины В (свойство медианы). Высота правильного треугольника ВН = (√3/2)*а (формула), отрезок НJ=(1/3)*ВН = (√3/6)*а. Из треугольника СОН найдем отрезок ОН по Пифагору:
ОН = √(OC²-HC²) = √(R²-a²/4) = (√(4R²-a²))/2.
Тогда OJ = √(OH²-HJ²) = √((3R²-a²)/3). Высота призмы равна
2√((3R²-a²)/3) (так как О - центр сферы).
Треугольники HOJ и HQG подобны с k=OJ/QG =1/2. => NM - средняя линия трапеции ASTC. NM = KL = (2/3)*a (из подобия треугольников АВС и KBL). Тогда ST=(1/3)*a.
Площадь сечения = площадь трапеции ASTC.
Sastc = (AC+ST)*HQ/2 = 2a√(4R²-a²)/3.
Ответ: Sastc = 2a√(4R²-a²)/3.
Для проверки: есть следствие из теоремы об описанной призме: радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы с высотой h и ребром основания a равен R=√(a²/3+h²/4). Подставив найденную высоту призмы, получим R=R.