Question

В равнобедренном треугольнике с основанием а и тангенсом угла при основании, равном $\sqrt{7}$, длина медианы, проведенной к боковой стороне, равна

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник BAE

${\rm tg}\, \angle BAE=\dfrac{BE}{AE}~~\Rightarrow~~ BE=AE\cdot {\rm tg}\, \angle BAE=\dfrac{a}{2}\sqrt{7}$

По теореме Пифагора

$AB=\sqrt{BE^2+AE^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{7a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

Достроим до параллелограмма ABFC. Сумма квадратов диагоналей равен сумме его всех сторон

$AF^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)\\ \\ AF^2+AB^2=2AB^2+2AC^2\\ \\ AF^2=AB^2+2AC^2=\left(a\sqrt{2}\right)^2+2a^2=4a^2\\ \\ AF=2a$

Следовательно, AD = AF/2 = 2a/2 = a.

Ответ: a.