При гомотетии равносторонний треугольник переходит в равносторонний треугольник.
1. Если диагональ боковой грани с ребром основания составляет угол 45 градусов и если призма прямоугольная, то эта диагональ является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника. Тогда высота призмы равна стороне основания и равна 5√2 см.
2. Объём призмы равен: V=S*H, где Н - -высота, а S - площадь треугольника в основании.S= a²√3/4, H=5√2 ⇒ V=(5√2)²*√3*0.25*5√2=(125√6)/2
Просьба перепроверить арифметику.
Находим по формуле Герона площадь треугольника.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(16*3*12*1) = √576 = 24 см².
Здесь полупериметр р = (а+в+с)/2 = 16 см.
Тогда r = S/p = 24/16 = 3/2 = 1,5 см.
R = (abc)/(4S) = (13*4*15)/(4*24)= 8,125 см.
Все ребра пирамиды равны 12 см. Тогда апофема пирамиды - высота боковой грани - равна по Пифагору √(12²-6²)=6√3 см.
Высота основания пирамиды (правильного треугольника) тоже равна
h=(√3/2)*a (формула) 6√3. В правильном треугольнике точка центра (пересечение высот, медиан и биссектрис) делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Значит НО=6√3/3=2√3.
По Пифагору высота пирамиды равна SO=√(SH²-HO²) =√(108-12)= 4√6.
Так как секущая плоскость проведена параллельно основанию через середину высоты пирамиды, она делит и высоту и апофему пирамиды пополам. Для усеченной пирамиды
Ответ: h=2√6, Aпофема=3√3.