Question

Дан треугольник АВС такой, что АВ=15см, ВС=12см и АС=18см. Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла С.

Answer 1

БИССЕКТРИСА любого угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Биссектриса СМ делит АВ на отрезки в отношении 18:12=3:2
Тогда АМ=15:5*3=9, 
МВ=15:5*2=6
Биссектриса ВК также проходит через центр вписанной окружности и делит сторону МС треугольника МВС в отношении  ВС:МВ=12:6=2:1 
Ответ: СО:ОМ=2:1
Центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла С в отношении 2:1, считая от вершины угла С 

Answer 2

Ну все приблизно так
BN/BC=AN/AC
BN/12=AN/18
AN\BN=18/12=а це в свою чергу=3/2
AK/AB=KC/BC
AK/15=KC/12
AK/KC=15/12=а це в свою чергу=5/4
Тепер за векторами
BK=4/(5+4)*AB+5/(5+4)*BC
OB=xBK=n/(m+n)*2/5AB+m/(m+n)BC
Все а тепер просто
скаладемо систему
$\left \{ {{n/(m+n)*2/5=x*4/(5+4)} \atop {m/(m+n)=x*5/(5+4)}} \right.$
$\left \{ {{n/(m+n)=x*5/2*4/9} \atop {{n/(m+n)=x*5/9}} \right.$
OC/ON=n/m=(x*5/2*4/9)/(x*5/9)=2 Ось і відповідь!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!