Question

Геометрия. Как происходит преобразование одного вида уравнения в другой?

Вопросы к экзамену по геометрии для студентов первого курса.

Answer 1

Не совсем ясно, о каких уравнениях идет речь. Обычно трудности возникают при преобразовании уравнений второго порядка.

Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Из этого уравнения нужно получить одно из уравнений кривых второго порядка:

1) A'(x + a)^2 + B'(y + b)^2 = C' - эллипс

2) A'(x + a)^2 - B'(y + b)^2 = C' - гипербола

3) A'(x + a)^2 + A'(y + b)^2 = C' - окружность

4) A'(x + a)^2 + B'(y + b) = C' - парабола

Чтобы это получить, нужно избавиться от члена Cxy. Для этого делаем такое преобразование:

x = x'*cos a - y'*sin a

y = x'*sin a + y'*cos a

Это преобразование есть поворот системы координат на угол а. Получаем

A(x'*cos a - y'*sin a)^2 + B(x'*sin a + y'*cos a)^2 + C(x'*cos a - y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) +

+D(x'*cos a - y'*sin a) + E(x'*sin a + y'*cos a) + F = 0

Раскрываем скобки, потом приводим подобные и коэффициент при члене x'*y' приравниваем к 0.

Отсюда находим sin a и cos a. Подставляем их в начальное уравнение и избавляемся от x'*y'